ಬದಲಾವಣೆಗಳು

ವೇದ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿಯೂ ಗಣಿತದ ಬಳಕೆಯ ಕುರಿತು ವಿವರಗಳಿವೆ. ಕ್ರಿ.ಪೂ. 1800 ರ ಕಾಲದ್ದೆನ್ನಲಾದ ಶುಕ್ಲ ಯಜುರ್ವೇದದ ಶತಪಥ ಬ್ರಾಹ್ಮಣದಲ್ಲಿ ಯಜ್ಞಕ್ಕೆ ಬೇಕಾದ ವೇದಿಕೆಯ ರಚನೆಯ ಕುರಿತು ದೀರ್ಘ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವೇದಗಳಿಗೆ ಅನುಬಂಧಗಳಾದ ನಾಲ್ಕು “ಶುಲ್ಬ ಶಾಸ್ತ್ರ”ಗಳು ಬೋಧಾಯನ (ಕ್ರಿ.ಪೂ.600), ಮಾನವ (ಕ್ರಿ.ಪೂ.750), ಅಪಸ್ಥಂಭ (ಕ್ರಿ.ಪೂ.600), ಮತ್ತು ಕಾತ್ಯಾಯನ (ಕ್ರಿ.ಪೂ.200) ಎಂದು ಅವುಗಳ ಲೇಖಕರ ಹೆಸರನ್ನೇ ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗೋರಸ್‌ನ ಸಂಶೋಧನೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುವ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿವರಣೆ ಇದೆ.<br>

ವೇದ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿಯೂ ಗಣಿತದ ಬಳಕೆಯ ಕುರಿತು ವಿವರಗಳಿವೆ. ಕ್ರಿ.ಪೂ. 1800 ರ ಕಾಲದ್ದೆನ್ನಲಾದ ಶುಕ್ಲ ಯಜುರ್ವೇದದ ಶತಪಥ ಬ್ರಾಹ್ಮಣದಲ್ಲಿ ಯಜ್ಞಕ್ಕೆ ಬೇಕಾದ ವೇದಿಕೆಯ ರಚನೆಯ ಕುರಿತು ದೀರ್ಘ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವೇದಗಳಿಗೆ ಅನುಬಂಧಗಳಾದ ನಾಲ್ಕು “ಶುಲ್ಬ ಶಾಸ್ತ್ರ”ಗಳು ಬೋಧಾಯನ (ಕ್ರಿ.ಪೂ.600), ಮಾನವ (ಕ್ರಿ.ಪೂ.750), ಅಪಸ್ಥಂಭ (ಕ್ರಿ.ಪೂ.600), ಮತ್ತು ಕಾತ್ಯಾಯನ (ಕ್ರಿ.ಪೂ.200) ಎಂದು ಅವುಗಳ ಲೇಖಕರ ಹೆಸರನ್ನೇ ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗೋರಸ್‌ನ ಸಂಶೋಧನೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುವ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿವರಣೆ ಇದೆ.<br>

ಈ ಕಾಲದ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ದಿನಬಳಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಿರ್ಮಾಣ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಹಾಯವಾಗುವ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ನಂತರದ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ತತ್ವಗಳ ಕಡೆಗೆ ಅಧ್ಯಯನಗಳು ಪ್ರಾರಂಭವಾದವು.<br>

ಈ ಕಾಲದ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ದಿನಬಳಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಿರ್ಮಾಣ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಹಾಯವಾಗುವ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ನಂತರದ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ತತ್ವಗಳ ಕಡೆಗೆ ಅಧ್ಯಯನಗಳು ಪ್ರಾರಂಭವಾದವು.<br>

'''ಜೈನರ ಕಾಲದ ಗಣಿತ'''<br><br>

'''ಜೈನರ ಕಾಲದ ಗಣಿತ'''<br>

ಕ್ರಿ.ಪೂ.600 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾದ ಜೈನ ಧರ್ಮದ ಕಾಲದ ಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನ ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಆರಂಭವಾಗಿದ್ದು, ಈ ಕಾಲದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮಾಹಿತಿ ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಜೈನ ವಿಶ್ವವಿಜ್ಞಾನದ `ಅನಂತ’ (infinity) ದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ `ಅನಂತ’ದ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿತು. ಇದಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೇ ಈ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ರೇಖಾಗಣಿತ, ಗಣನೆ ಮುಂತಾದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಾಯಿತು. ಕ್ರಿ.ಶ.600 ರ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪ್ರಬಲಗೊಂಡ ಬೌದ್ಧ ಧರ್ಮವೂ ಗಣಿತದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಪಾತ್ರವಹಿಸಿದೆ.<br>

ಕ್ರಿ.ಪೂ.600 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾದ ಜೈನ ಧರ್ಮದ ಕಾಲದ ಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನ ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಆರಂಭವಾಗಿದ್ದು, ಈ ಕಾಲದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮಾಹಿತಿ ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಜೈನ ವಿಶ್ವವಿಜ್ಞಾನದ `ಅನಂತ’ (infinity) ದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ `ಅನಂತ’ದ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿತು. ಇದಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೇ ಈ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ರೇಖಾಗಣಿತ, ಗಣನೆ ಮುಂತಾದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಾಯಿತು. ಕ್ರಿ.ಶ.600 ರ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪ್ರಬಲಗೊಂಡ ಬೌದ್ಧ ಧರ್ಮವೂ ಗಣಿತದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಪಾತ್ರವಹಿಸಿದೆ.<br><br>

'''ಬ್ರಾಹ್ಮಿ ಅಂಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೊನ್ನೆ'''<br><br>

'''ಬ್ರಾಹ್ಮಿ ಅಂಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೊನ್ನೆ'''<br>

ನಾವು ಈಗಲೂ ಬಳಸುವ ಬ್ರಾಹ್ಮಿ ಅಂಕೆಗಳು (0-9) ಸುಮಾರು ಕ್ರಿ.ಪೂ.300 ರ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯಾಗಿದ್ದವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. (ನಾವು ಈಗ ಅವುಗಳನ್ನು ಇಂಡೋ-ಅರೆಬಿಕ್ ಅಂಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.) ನಂತರ ಗುಪ್ತರ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡು ನಂತರದಲ್ಲಿ ದೇವನಾಗರಿ ಅಂಕೆಗಳಾದವು. ಈ ಬೆಳವಣಿಗೆ ಕ್ರಿ.ಶ. 600 ರಿಂದ ಕ್ರಿ.ಶ. 1000 ರ ನಡುವೆ ಆಗಿದೆ.)  ಕ್ರಿ.ಶ. 600 ರ ಹೊತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನ-ಮೌಲ್ಯ ದಶಮಾಂಶ ಪದ್ಧತಿ ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿತ್ತು. ಅಂದರೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆದಾಗ, ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕೆಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಜೊತೆಗೆ ತಾವು ಇರುವ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ನಾವು ಈಗಲೂ ಬಳಸುವ ಬ್ರಾಹ್ಮಿ ಅಂಕೆಗಳು (0-9) ಸುಮಾರು ಕ್ರಿ.ಪೂ.300 ರ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯಾಗಿದ್ದವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. (ನಾವು ಈಗ ಅವುಗಳನ್ನು ಇಂಡೋ-ಅರೆಬಿಕ್ ಅಂಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.) ನಂತರ ಗುಪ್ತರ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡು ನಂತರದಲ್ಲಿ ದೇವನಾಗರಿ ಅಂಕೆಗಳಾದವು. ಈ ಬೆಳವಣಿಗೆ ಕ್ರಿ.ಶ. 600 ರಿಂದ ಕ್ರಿ.ಶ. 1000 ರ ನಡುವೆ ಆಗಿದೆ.)  ಕ್ರಿ.ಶ. 600 ರ ಹೊತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನ-ಮೌಲ್ಯ ದಶಮಾಂಶ ಪದ್ಧತಿ ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿತ್ತು. ಅಂದರೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆದಾಗ, ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕೆಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಜೊತೆಗೆ ತಾವು ಇರುವ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

“ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವ ಕುಶಲ ಪದ್ಧತಿಯ ಕೊಡುಗೆ ಭಾರತದ್ದಾಗಿದ್ದು, ಈ ಹತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೇ ತಮ್ಮ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬೇರೊಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಹಾ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಹೊರನೋಟಕ್ಕೆ ಸುಲಭವೆನ್ನಿಸುವ ಈ ಪದ್ಧತಿಯ ಆಳವಾದ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯವಾದ ಚಿಂತನೆ ನಮ್ಮ ಗಮನಕ್ಕೆ ಬರದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ಅನೇಕ ಉಪಯುಕ್ತ ಸಂಶೋಧನೆಗಳಿಗೆ ಬಹುದೊಡ್ಡ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದೆ. ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್ ಮತ್ತು ಅಪೊಲ್ಲೊನಿಯಸ್‌ರಂತಹ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಪ್ರತಿಭೆಗಳಿಗೂ ಇದು ಹೊಳೆದಿರಲಿಲ್ಲ ಎಂದಾಗ ಇದರ ಶ್ರೇಷ್ಟತೆ ಎಂತದ್ದೆಂದು ನಮಗೆ ಅರಿವಾಗುತ್ತದೆ” ಎಂದು ಲಾ-ಪ್ಲೇಸ್ ಎಂಬ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಹೇಳಿದ್ದ.

“ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವ ಕುಶಲ ಪದ್ಧತಿಯ ಕೊಡುಗೆ ಭಾರತದ್ದಾಗಿದ್ದು, ಈ ಹತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೇ ತಮ್ಮ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬೇರೊಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಹಾ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಹೊರನೋಟಕ್ಕೆ ಸುಲಭವೆನ್ನಿಸುವ ಈ ಪದ್ಧತಿಯ ಆಳವಾದ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯವಾದ ಚಿಂತನೆ ನಮ್ಮ ಗಮನಕ್ಕೆ ಬರದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ಅನೇಕ ಉಪಯುಕ್ತ ಸಂಶೋಧನೆಗಳಿಗೆ ಬಹುದೊಡ್ಡ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದೆ. ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್ ಮತ್ತು ಅಪೊಲ್ಲೊನಿಯಸ್‌ರಂತಹ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಪ್ರತಿಭೆಗಳಿಗೂ ಇದು ಹೊಳೆದಿರಲಿಲ್ಲ ಎಂದಾಗ ಇದರ ಶ್ರೇಷ್ಟತೆ ಎಂತದ್ದೆಂದು ನಮಗೆ ಅರಿವಾಗುತ್ತದೆ” ಎಂದು ಲಾ-ಪ್ಲೇಸ್ ಎಂಬ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಹೇಳಿದ್ದ.

ಅಂಕೆಗಳ ಸ್ಥಾನ-ಮೌಲ್ಯ ಪದ್ಧತಿಯು ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ನಾಗರೀಕತೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಇತ್ತು. ಕ್ರಿ.ಪೂ. 1700ರಲ್ಲಿಯೇ ಅವರು ಸೆಕ್ಸಾಜೆಸಿಮಲ್ (ಅರವತ್ತರ) ಸ್ಥಾನ-ಮೌಲ್ಯ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಆದರೆ ಅಲ್ಲಿದ್ದ ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಅವರಿಗೆ `ಸೊನ್ನೆ’ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಇರಲಿಲ್ಲ.<br><br>

ಅಂಕೆಗಳ ಸ್ಥಾನ-ಮೌಲ್ಯ ಪದ್ಧತಿಯು ಬ್ಯಾಬಿಲೋನಿಯನ್ ನಾಗರೀಕತೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಇತ್ತು. ಕ್ರಿ.ಪೂ. 1700ರಲ್ಲಿಯೇ ಅವರು ಸೆಕ್ಸಾಜೆಸಿಮಲ್ (ಅರವತ್ತರ) ಸ್ಥಾನ-ಮೌಲ್ಯ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಆದರೆ ಅಲ್ಲಿದ್ದ ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಅವರಿಗೆ `ಸೊನ್ನೆ’ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಇರಲಿಲ್ಲ.<br><br>

'''‘ಸೊನ್ನೆ’ಯು ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಭಾರತದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಕೊಡುಗೆ'''. ಆದರೆ, ಸೊನ್ನೆಯ ಬಳಕೆ ಅಷ್ಟೇನೂ ಸುಲಭದ್ದಾಗಿರಲಿಲ್ಲ. ಅದು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರತಿಭಾನ್ವಿತ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೂ ದೊಡ್ಡ ಸವಾಲಾಗಿತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಇನ್ನೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಅಚ್ಚರಿಯೆಂದರೆ ಹದಿನೇಳನೆ ಶತಮಾನದವರೆಗೂ ಯೂರೋಪಿನಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಯ ಬಳಕೆಯೇ ಇರಲಿಲ್ಲ.<br>

'''‘ಸೊನ್ನೆ’ಯು ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಭಾರತದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಕೊಡುಗೆ'''. ಆದರೆ, ಸೊನ್ನೆಯ ಬಳಕೆ ಅಷ್ಟೇನೂ ಸುಲಭದ್ದಾಗಿರಲಿಲ್ಲ. ಅದು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರತಿಭಾನ್ವಿತ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೂ ದೊಡ್ಡ ಸವಾಲಾಗಿತ್ತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಇನ್ನೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಅಚ್ಚರಿಯೆಂದರೆ ಹದಿನೇಳನೆ ಶತಮಾನದವರೆಗೂ ಯೂರೋಪಿನಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಯ ಬಳಕೆಯೇ ಇರಲಿಲ್ಲ.<br><br>

ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತದ ಉಚ್ಛ್ರಾಯ ಕಾಲ<br><br>

'''ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತದ ಉಚ್ಛ್ರಾಯ ಕಾಲ'''<br>

ಕ್ರಿ.ಶ. 500 ರಿಂದ ಕ್ರಿ.ಶ.1200 ವರೆಗಿನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಜೀವಿಸಿದ್ದರು. ಅವರಲ್ಲಿ ಆರ್ಯಭಟ I (ಕ್ರಿ.ಶ.500 ಕ್ರಿ.ಶ.) ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ (ಕ್ರಿ.ಶ.700), ಭಾಸ್ಕರ I (ಕ್ರಿ.ಶ.900), ಮಹಾವೀರ (ಕ್ರಿ.ಶ.900), ಆರ್ಯಭಟ್ಟ II (ಕ್ರಿ.ಶ.1000) ಮತ್ತು ಭಾಸ್ಕರ II (ಕ್ರಿ.ಶ. 1114) ಪ್ರಮುಖರಾದವರು.<br>

ಕ್ರಿ.ಶ. 500 ರಿಂದ ಕ್ರಿ.ಶ.1200 ವರೆಗಿನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಜೀವಿಸಿದ್ದರು. ಅವರಲ್ಲಿ ಆರ್ಯಭಟ I (ಕ್ರಿ.ಶ.500 ಕ್ರಿ.ಶ.) ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ (ಕ್ರಿ.ಶ.700), ಭಾಸ್ಕರ I (ಕ್ರಿ.ಶ.900), ಮಹಾವೀರ (ಕ್ರಿ.ಶ.900), ಆರ್ಯಭಟ್ಟ II (ಕ್ರಿ.ಶ.1000) ಮತ್ತು ಭಾಸ್ಕರ II (ಕ್ರಿ.ಶ. 1114) ಪ್ರಮುಖರಾದವರು.<br>

ಆ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪಾಟಲೀಪುತ್ರದ ಸಮೀಪದ ಕುಸುಮಾಪುರ ಮತ್ತು ಉಜ್ಜಯನಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಗಣಿತ ಸಂಶೋಧನ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಪ್ರಾರಂಭವಾದವು. ಕುಸುಮಾಪುರ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖನಾಗಿದ್ದ ಆರ್ಯಭಟನ ಕೃತಿ “ಆರ್ಯಭಟೀಯ” ಮುಂದೆ ಆಗಿಹೋದ ಅನೇಕ ಶತಮಾನಗಳವರೆಗೆ ಗಣಿತದ ಸಂಶೋಧನೆಗಳಿಗೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು. ಆರ್ಯಭಟನ ಸಂಶೊಧನೆಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ (ax + by = c ಪ್ರಕಾರದ) ಉತ್ತರ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಹ ಸೇರಿದೆ. ಖಗೋಳ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿದ್ದ ಆಸಕ್ತಿಯಿಂದಾಗಿ ಆರ್ಯಭಟ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ (ಗುಪ್ತಲಿಪಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನ) ಯಲ್ಲಿ ಬಹುಮುಖ್ಯ ಪಾತ್ರವಹಿಸಿವೆ. ಆರ್ಯಭಟ ಟ್ರಿಗ್ನಾಮೆಟ್ರಿ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೂಡಾ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾನೆ.<br>

ಆ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪಾಟಲೀಪುತ್ರದ ಸಮೀಪದ ಕುಸುಮಾಪುರ ಮತ್ತು ಉಜ್ಜಯನಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಗಣಿತ ಸಂಶೋಧನ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಪ್ರಾರಂಭವಾದವು. ಕುಸುಮಾಪುರ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖನಾಗಿದ್ದ ಆರ್ಯಭಟನ ಕೃತಿ “ಆರ್ಯಭಟೀಯ” ಮುಂದೆ ಆಗಿಹೋದ ಅನೇಕ ಶತಮಾನಗಳವರೆಗೆ ಗಣಿತದ ಸಂಶೋಧನೆಗಳಿಗೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು. ಆರ್ಯಭಟನ ಸಂಶೊಧನೆಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ (ax + by = c ಪ್ರಕಾರದ) ಉತ್ತರ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಹ ಸೇರಿದೆ. ಖಗೋಳ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿದ್ದ ಆಸಕ್ತಿಯಿಂದಾಗಿ ಆರ್ಯಭಟ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ (ಗುಪ್ತಲಿಪಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನ) ಯಲ್ಲಿ ಬಹುಮುಖ್ಯ ಪಾತ್ರವಹಿಸಿವೆ. ಆರ್ಯಭಟ ಟ್ರಿಗ್ನಾಮೆಟ್ರಿ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೂಡಾ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾನೆ.<br>