ರಚನಾ ಗಣಿತ 9 ವಿಶೇಷ ಮಾಹಿತಿಗಳು ಹಾಗೂ ಲೇಖನಗಳು

ವಿಶೇಷ ಮಾಹಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಲೇಖನಗಳು

ಭಾರತದಲ್ಲಿ 2012 - ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಗಣಿತ ವರ್ಷ

ಸೌಜನ್ಯ : ಶ್ರೀಮತಿ ಹರಿಪ್ರಸಾದ್

ಮೈಸೂರು, 9945101649

ಡಿಸೆಂಬರ್ 22, ಭಾರತಕ್ಕೆ ಅದೊಂದು ಪರ್ವದಿನ. `ಭಾರತದ ಅತ್ಯಂತ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಗಣಿತಜ್ಞ' ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಹುಟ್ಟಿದ್ದು 1887 ಡಿಸೆಂಬರ್, 22ರಂದು. ಇಂದಿಗೆ 125 ವರ್ಷಗಳಿಗೆ ಹಿಂದೆ, ಮದರಾಸಿನ (ಚೆನ್ನೈ) ಈರೋಡ್‍ನಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದರು. ಗಣಿತದ ಈ ಜೀನಿಯಸ್‍ನ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಡಿಸೆಂಬರ್ 22ನ್ನು `ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಗಣಿತ ದಿನ'ವೆಂದೂ 2012ನ್ನು ಭಾರತದ ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಗಣಿತ ವರ್ಷವೆಂದೂ ದೇಶದ ಪ್ರಧಾನಿ ಡಾ. ಮನಮೋಹನ್ ಸಿಂಗ್ ಅವರು ಘೋಷಿಸಿದ್ದಾರೆ.

ಇಂದು ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಹಾಗೂ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಇವರುಗಳ ಪಂಕ್ತಿಗೆ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದೆಂಬ ಉಕ್ತಿ ಕೇಳಿಬರುತ್ತಿದೆ. ರಾಮಾನುಜನ್ ಪ್ರತಿಭೆಯ ಉತ್ಸವಾಚಾರಣೆಯ ಜೊತೆಗೆ ಭಾರತದ ಭವ್ಯ ಗಣಿತ ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಪುನರುತ್ಥಾನ ಮಾಡಿ, ಜನರನ್ನು ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ತೊಡಗಿಸಬೇಕೆಂದು ಪ್ರಧಾನಿಗಳು ಕರೆ ಕೊಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ.

ಗಣಿತ ಮನುಷ್ಯನ ಎಲ್ಲ ಜ್ಞಾನಗಳಿಗೆ ಮೂಲವೆಂದೂ ಅದರ ತಳಹದಿ ಇಲ್ಲದೆ ವಿಜ್ಞಾನದ ಬುಡ ಅಸ್ಥಿರವೆಂದೂ ತಿಳಿದಿದೆ. ಗಣಿತವನ್ನು `ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ರಾಣಿ' ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಅದರದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಭಾಷೆ. ನಾಗರಿಕತೆ ಇರುವೆಡೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರುವುದನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ, ಗಣಿತದ ಬೆಳವಣಿಗೆ ನಾಗರಿಕತೆಯೊಡನೆ ಜೋಡಿಕೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತ ಪರಂಪರೆ ಸಾವಿರಾರು ವರ್ಷಗಳಷ್ಟು ದೀರ್ಘವಾಗಿದೆ. ಕ್ರಿ.ಪೂ. 500 ರಿಂದ ಕ್ರಿ.ಶ. 500ರ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತದ ಗಣಿತ ಬೃಹತ್ ಕೊಡುಗೆಗಳು ಮೂಡಿಬಂದಿವೆ. ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ, ವರಾಹಮಿಹಿರ ಮತ್ತು ಆರ್ಯಭಟ - ಇವರು ಆ ಅವಧಿಯ ಹೆಸರಾಂತ ಗಣಿತಜ್ಞರೂ ಖಗೋಲ ತಜ್ಞರೂ ಆಗಿದ್ದರು. ಗುಪ್ತರ ಅವಧಿಯನ್ನು ಆ ಕಾಲದ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತದ ಸ್ವರ್ಣ ಯುಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಈ ಗಣಿತ ಪರಂಪರೆ ಕ್ರಿ.ಶ. 12ನೇ ಶತಮಾನದ ವರೆಗೆ ಮುಂದುವರಿಯಿತು.

ಬೀಜಗಣಿತ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳಲ್ಲದೆ ಭಾರತೀಯ ನಾಗರಿಕತೆಯ ಅತಿ ಮಹತ್ವದ ಆವಿಷ್ಕಾರವೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಇನ್ನು ದಶಮಾನ ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯ ಪದ್ಧತಿ ಸುಮಾರು 6ನೇ ಶತಮಾನ ದಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಗೆ ಬಂದಿತು. ಇಂದಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುವಂತೆ `ಠಿ' (ಪೈ) ಬೆಲೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ತಿಳಿಸಿದ ಆರ್ಯಭಟನ (ಸುಮಾರು ಕ್ರಿ.ಶ. 476-550) ಆರ್ಯಭಟೀಯ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಕೋಟಿ, ಹತು

ಕೋಟಿ, ನೂರು ಕೋಟಿಯಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತ, ಹದಿನೆಂಟು ಸ್ಥಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಗುರುತಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ.

ಆರ್ಯಭಟನ ಗಣಿತವನ್ನು ರಾಮಾನುಜನ್‍ರವರು ಮುಂದುವರಿಸಿದರೆಂದೂ `ಪೈ'ನ ನಿಗೂಢ ಬೆಲೆಯನ್ನು ತಿಳಿಯುವ ರೀತಿಯನ್ನು ಅವರು ಗುರುತಿಸಿದರೆಂದೂ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. ಎಳೆಯ ವಯಸ್ಸಿನ ಅದ್ಭುತ ಕಿಶೋರ ರಾಮಾನುಜನ್ ತನ್ನದೇ ಗಣಿತವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿ, ಬೆಳೆಸಿದರು. 32ರ ಹರೆಯದಲ್ಲೇ ಅಸುನೀಗಿದ ರಾಮಾನುಜರ ಗಣಿತ ಪ್ರತಿಭೆಯನ್ನು ಮೊದಲೇ ಗುರುತಿಸಿದ ಗಣಿತದ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರೊಬ್ಬರು, ಕೇಂಬ್ರಿಜ್ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕ ಹಾರ್ಡಿಯ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ರಾಮಾನುಜರಿಗೆ ಮಾಡಿಸಿದರು. ಪತ್ರ ಮುಖೇನ ತನ್ನ ಗಣಿತ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ರಾಮಾನುಜನ್‍ರು ಅವರಿಗೆ ಕಳುಹಿಸಿದರು. ಇವುಗಳಿಂದ ಬೆರಗಾದ ಹಾರ್ಡಿ ರಾಮನುಜನ್ ಅವರನ್ನು ಇಂಗ್ಲೆಂಡಿಗೆ ಕರೆಸಿಕೊಂಡರು. ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಗಣಿತದ ಅನೇಕ ವಿದ್ವತ್ಪೂರ್ಣ ಲೇಖನಗಳನ್ನು ಬರೆದರು. ರಾಮನುಜನ್ ಕೇಂಬ್ರಿಜ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಗೌರವ ಬಿ.ಎ. ಪದವಿ ಗಳಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅವರಿಗೆ ರಾಯಲ್ ಸೊಸೈಟಿಯ `ಫೆಲೋ' ಗೌರವ ಕೂಡ ಸಂದಿತು! `ಇಂತಹ ಒಬ್ಬ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಮಹಾನ್ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕ ಹಾಗೂ ಒಬ್ಬ ಬಡ ಹಿಂದೂ ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ಇವರುಗಳ ನಡುವೆ ಅಪರೂಪದ, ಫಲಪ್ರದ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಹಯೋಗ ಮತ್ತೆ ಇದುವರೆಗೆ ಕಂಡುಬಂದಿಲ್ಲ' ಎಂದು ದಾಖಲಾಗಿದೆ.

ರಾಮಾನುಜನ್ ಒಂದು ದಂತಕಥೆ ಎನ್ನುವಷ್ಟು ಮೇಧಾವಿ ಗಣಿತಜ್ಞ. ಅವರು ಮಾಡಿದ ಅನೇಕ ಗಣಿತ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಅಮೂಲ್ಯವಾದ ನೋಟ್‍ಬುಕ್ ಕೇಂಬ್ರಿಜ್‍ನಲ್ಲಿ ಆಮೇಲೆ ದೊರೆಯಿತು. ಇದನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಸುಮಾರು 600 ಗಣಿತ ಸೂತ್ರಗಳ ಸಾಧನೆ (Pಡಿooಜಿ)ಗಳ ಬಗೆಗೆ ಹಲವಾರು ಸಂಪುಟಗಳನ್ನು ಕೇಂಬ್ರಿಜ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ ಹೊರತಂದಿದೆ.

ರಾಮಾನುಜರ ಬಗೆಗೆ ಕಮರ್ಷಿಯಲ್ ಚಲನಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ತೆಗೆಯುವ ಹವಣಿಕೆಯೂ ಇದೆಯಂತೆ. `ಎ ಫಸ್ಟ್ ಕ್ಲಾಸ್ ಮ್ಯಾನ್' (ಒಬ್ಬ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮಾನವ) ಎಂಬುದು ಈ ಚಿತ್ರದ ಹೆಸರು. `ದ ಮ್ಯಾನ್ ಹು ನ್ಯೂ ಇನ್‍ಫಿನಿಟಿ' (ಅನಂತವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದ ಮನುಜ) ಎಂಬ ಇನ್ನೊಂದು ಚಿತ್ರವೂ ತಯಾರಿಯಲ್ಲಿದೆ.

2012 ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಗಣಿತ ವರ್ಷದ ಅನೇಕ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ರೂಪುಗೊಂಡು ವೆಬ್ ಸೈಟ್‍ಗಳಲ್ಲಿ ದಾಖಲಾಗಿವೆ. ಇದು ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಅಂತಾರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಸಮಾವೇಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. 2012 ಡಿಸೆಂಬರ್‍ವರೆಗೆ 50ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಇಂತಹ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳೂ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ದಿನಾಂಕಗಳೂ ನಿರ್ಧರಿತವಾಗಿತ್ತು. ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಸುಮಾರು 6 ಸಮಾವೇಶಗಳು ನಡೆದಿದೆ.

ಜುಲೈ 2012 ಹಾಗೂ ಡಿಸೆಂಬರ್ 2012 ರಲ್ಲಿ ಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನ್ವಯಗಳ ಬಗೆಗೆ ಅಂತಾರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಸಮಾವೇಶಗಳು ಭಾರತದಲ್ಲಿ ನಡೆದಿವೆ.

ಗಣಿತವು ಸಂಖ್ಯೆ, ಗಾತ್ರ, ಪರಿಮಾಣ ಮೊದಲಾದವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಪಟ್ಟ ವಿಜ್ಞಾನ ಕ್ಷೇತ್ರ, ಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಶುದ್ಧ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳೆಂಬ ಎರಡು ಪ್ರಧಾನ ವಿಭಾಗಗಳಿವೆ. ಅತ್ಯಂತ ಅನ್ವಯಿಕತೆಯ, ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಈ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಮೂಲಾಧಾರ ಎನ್ನುವುದರಲ್ಲಿ ಉತ್ಪ್ರೇಕ್ಷೆಯೇ ಇಲ್ಲ. ಇದರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಸಾಕ್ಷರರು, ನಿರಕ್ಷಕರು ಎಂಬ ಭೇದವಿಲ್ಲ. ಮಾನವನ ನಾಗರಿಕತೆಗೆ ಗಣಿತ ಆಧಾರ ಎನ್ನುವಷ್ಟು ತಳಸ್ಪರ್ಶಿ ಈ ಜ್ಞಾನ ಕ್ಷೇತ್ರ. ಕೆಲವು ಅರ್ಥಗಳಲ್ಲಿ ದಿನ ನಿತ್ಯದ ವ್ಯವಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಕ್ಷರರು ಗಣಿತ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಸರಾಗವಾಗಿ ತಮ್ಮದಾಗಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಇದನ್ನು ಬೀದಿಯ ವ್ಯಾಪಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಅತ್ಯಂತ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಭಾಷೆಯ, ದತ್ತ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಮೌಲ್ಯದ ಈ ವಿಷಯವು ಮಾನವ ತನ್ನ ಬಳಿಯಿದ್ದ ವಸ್ತುಗಳ ಲೆಕ್ಕವಿಡಲು ಆರಂಭಿಸಿದಾಗ ಹುಟ್ಟಿತು ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಆಮೇಲೆ ಇದು ಬೆಳೆದಿರುವ ಪರಿ ಅತಿವಿಸ್ತಾರ, ರೋಚಕ ಹಾಗೂ ಅವನ ಎಲ್ಲ ವಿಷಯಗಳ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಇದರ ಅನ್ವಯವಿಲ್ಲದೆ ಸಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಗಣಿತದ ಉಪಯೋಗ ನೋಡಿ : ನಮ್ಮ ದಿನ 24 ಗಂಟೆಗಳು, ಹೀಗೆ ಕಾಲದ ಗಣನೆ; ನಮ್ಮ ಜೀವನವೂ ಲಯಬದ್ಧವಾದುದು, ಊಟ, ಕೆಲಸ, ಮಲಗುವ ವೇಳೆಗಳು; ಜೀವಿಗಳ ದೈಹಿಕ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಲಯಬದ್ಧ - ಹೃದಯ ಮಿಡಿತ, ಉಸಿರಾಟ ಕ್ರಿಯೆ, ಚಲನೆ, ಮುಂತಾದವು. ಇರಲಿ - ಅಡುಗೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವೂ ಪ್ರಮಾಣ ಬದ್ಧವಾಗಿರಬೇಕು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಏನಾಗುವುದೆಂದು ಊಹಿಸಿ. ದೈನಿಕ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವಿಲ್ಲದೆ ಏನೂ ನಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ - ಎಷ್ಟು ದೂರ, ಎತ್ತರ, ಅಗಲ, ಆಳ ಇತ್ಯಾದಿ.

ಇಡೀ ವಿಶ್ವದ ವ್ಯಾಪಾರಗಳೆಲ್ಲ ಲಯಬದ್ಧವಾದುವು - ಆಕಾಶಕಾಯಗಳ ಚಲನೆ, ಗೆಲಕ್ಸಿಗಳು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ನಕ್ಷತ್ರಗಳು, ನಕ್ಷತ್ರ ಲೋಕಗಳು (ಉದಾ : ಸೌರವ್ಯೂಹ). ಈ ಲಯಬದ್ಧತೆಯಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಏರುಪೇರಾದರೆ, ಸಂಭವಿಸುವ ವಿದ್ಯಮಾನ ಊಹಾತೀತ. ಗಣಿತ ಹಾಗೂ ಆಕಾಶಕಾಯಗಳ ವ್ಯಕ್ತ ಚಲನೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಇಂದಿನ ಅತಿ ಮುಂದುವರಿದ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನಗಳನ್ನು (ಅದಕ್ಕೂ ಗಣಿತವೇ ಆಧಾರ) ಬಳಸಿ ವಿಶ್ವದ ರಹಸ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾನವ ಬಯಲು ಮಾಡುತ್ತಾ ಬಂದಿದ್ದಾನೆ.

ಜೀವಲೋಕದಲ್ಲಿ `ಜೀನ್' ಸಂಶೋಧನೆಯಾದ ಮೇಲೆ ಆನುವಂಶಿಕತೆಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತ ಕ್ರಿಯೆ ಬಳಸಿ ತಲೆಮಾರುಗಳಲ್ಲಿ ರವಾನೆಯಾಗುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವಿಶ್ವಾಸನೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನೂ ಕೂಡ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು. ಪ್ರಯೋಗಾತ್ಮಕವಾದ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಮೊದಲು

ಮತ್ತು ಆಮೇಲಿನ ವಿಷಯಗಳ ತುಲನೆ ಮಾಡಿ ಹೊಸ ವಿಷಯ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲು ಗಣಿತ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಆಧಾರಭೂತ. ಗಣಿತದ ಸ್ತರಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಸರಳ ಎಂಬುದರಿಂದ ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಎಂಬುದರವರೆಗೆ ಇವೆ. ಅತಿ ಸಂಕೀರ್ಣದ ತುದಿಯಲ್ಲಿ `ಅಮೂರ್ತ ಗಣಿತ'ವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಆಯಾ ಸ್ತರಗಳಿಗೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಗಣಿತ ಅತಿ ಸರಳವೂ ಹೌದು, ಅತಿ ಜಟಿಲವೂ ಹೌದು.

ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ವಿಷಯವೆಂದರೆ, ಅತಿ ಜಟಿಲ ಗಣಿತ ಲೋಕದಲ್ಲಿ `ವಿಹರಿಸು'ವವರೂ ಇದ್ದಾರೆ.

ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತ ಪರಂಪರೆ

ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತೀಯ ಗ್ರಂಥಗಳಾದ ವೇದಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತ ವಿಷಯಗಳು ಬರುತ್ತವೆ. ಯಜ್ಞಾಚರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ಕಟ್ಟುತ್ತಿದ್ದ ಅಗ್ನಿಕುಂಡಗಳನ್ನು ನಿಯತ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳುಳ್ಳ ಚಚ್ಚೌಕ, ವೃತ್ತ, ಅರ್ಧವೃತ್ತ ಮೊದಲಾದ ರೇಖಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಶುಲ್ವಸೂತ್ರಗಳು - ನೂಲು ಅಥವಾ ದಾರದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಉದ್ದ, ಅಗಲ, ಎತ್ತರಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಸೂತ್ರಗಳಿದ್ದವು. ಶುಲ್ವಸೂತ್ರಗಳ ಕಾಲವು ಕ್ರಿ.ಪೂ. 800 ರಿಂದ 500ರ ವರೆಗಿನ ಅವಧಿ ಎಂದು ಅಂದಾಜು. ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತ ಲೇಖಕರು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ.

ಇತಿಹಾಸ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ತಕ್ಷಶಿಲೆ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ದೊರೆತ ಗಣಿತ ಗ್ರಂಥವೊಂದರಲ್ಲಿ 41,105 ಮೊದಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಮೂಲ ಸನ್ನಿಹಿತ ಬೆಲೆ, 3, 4, ಮೊದಲಾದ ಧನಸಂಖ್ಯೆ, -6, -7 ಮೊದಲಾದ ಋಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪಯೋಗಗಳೂ ತಿಳಿದುಬಂದಿವೆ.

ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯಾ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು ವೈದಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಅತಿ ಭಾರಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ. ಹತ್ತರ ಗಣಕಗಳ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹೀಗೆ ಹೆಸರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ:

ಏಕ (ಒಂದು), ದಶ (101), ಶತ (102), ಸಹಸ್ರ (103), ಅಯುತ (104), ನಿಯತ (105), ಪ್ರಯುತ (106), ಅರ್ಬುದ (107), ನ್ಯರ್ಬುದ (108), ಸಮುದ್ರ (109), ಮಧ್ಯ (1010), ಅಂತ (1011) ಮತ್ತು ಪರಾರ್ಧ(1012 ).

(ಸಂಗ್ರಹ) -ಆಧಾರ : ಜ್ಞಾನಗಂಗೋತ್ರಿ ವಿಶ್ವಕೋಶ (ಭೌತ ಜಗತ್ತು)

ನಿಕೋಲಾಯ್ ಇವಾನೊವಿಚ್ ಲಬಚೇಫ್‍ಸ್ಕಿ

ನಿಕೋಲಾಯ್ ಇವಾನೊವಿಚ್ ಲಬಚೇಫ್‍ಸ್ಕಿ `ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಕೊಪರ್ನಿಕಸ್' ಎಂದು ಖ್ಯಾತ ಜ್ಯಾವಿತಿಜ್ಞರಿಂದ ಕೊಂಡಾಡಿಸಿಕೊಂಡವನು ಲಬಚೇಫ್‍ಸ್ಕಿ (1793-1856). ರಷ್ಯದ ನಿಜ್ನಿ ನೋವೊಗ್ರಾಡ್ - ಇಂದಿನ ಗಾರ್ಕಿ - ನಲ್ಲಿ ಅವನು ಜನಿಸಿದ. ಕಾಜನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯವನ್ನು 13ನೇ ವಯಸ್ಸಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸಿದ. ಮುಂದೆ 20ನೇ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲಿ ಸಹಾಯಕ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕನಾದ. ಅನಂತರ ಅಧ್ಯಕ್ಷನೂ (ರೆಕ್ಟರ್) ಆದ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯವೇ ತನ್ನ ಬದುಕು ಎಂಬಂತೆ ಅವನು ಅದನ್ನು ಪ್ರೀತಿಸಿದ, ಅದಕ್ಕಾಗಿ ದುಡಿದ. ಭೂಮಿ ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಮಗೆ ಗೊತ್ತು. ಆದರೆ ಅದು ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ (ಅಥವಾ ಅವನ ಹಿಂದಿನವರು) ಬಗೆದುದರ ಮೇಲೆ ಅವನು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದ. ಇದನ್ನೇ ಸತ್ಯ ಎಂದು ಜನ ನಂಬಿದರು. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಡಗಿದ ಸತ್ಯ ಹೊರಬರಲು ಸುಮಾರು 2 ಸಾವಿರ ವರ್ಷಗಳು ಬೇಕಾದುವು. ಹಾಗೆ ಸತ್ಯವನ್ನು ಹೊರ ತಂದವನು ಲಬಚೇಫ್‍ಸ್ಕಿ. ತನ್ನ ಪ್ರತಿಷ್ಠೆಯನ್ನೇ ಪಣವಾಗಿಟ್ಟು ಅವನು ಆದ್ಯುಕ್ತಿಯೊಂದನ್ನು ಧಿಕ್ಕರಿಸಿದ. ದತ್ತ ರೇಖೆಗೆ ಒಂದು ಹೊರಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು (ಉದಾ : ಎರಡು) ಅಛೇಧಕಗಳಿರುವ ಊಹೆಯ ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಪಂಥವನ್ನು ಅವನು ಬಲಪಡಿಸಿದ. ಇವೆಲ್ಲಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಅವನು ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕತ್ವ ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಕ್ಷ ಪದವಿಗಳನ್ನು ಕಳಕೊಂಡ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಸುವರ್ಣ ಮಹೋತ್ಸವ ಸಂಧರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವನು ತನ್ನ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಿ ದಾಖಲಿಸಿದ. ಏಕೆಂದರೆ ಆಗ ಲಬಚೇಫ್‍ಸ್ಕಿಗೆ ಕಣ್ಣು ಕಾಣುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅಜಮಾಸಿ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವಂತೆ ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಅವನು ಸಾಧಿಸಿದ. ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಆಕ್ಷೇಪ ಎತ್ತುವ ಲಬಚೇಫ್‍ಸ್ಕಿ ಶೈಲಿಯ ಪ್ರಭಾವ ಮುಂದೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕ್ಷೇತ್ರದಾಚೆಗೂ ಕಂಡು ಬಂತು. ಸೌಜನ್ಯ :- ಬಾಲವಿಜ್ಞಾನ, ಕರಾವಿಪ, ಬೆಂಗಳೂರು `ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಕೊಪರ್ನಿಕಸ್' ಎಂದು ಖ್ಯಾತ ಜ್ಯಾವಿತಿಜ್ಞರಿಂದ ಕೊಂಡಾಡಿಸಿಕೊಂಡವನು ಲಬಚೇಫ್‍ಸ್ಕಿ (1793-1856). ರಷ್ಯದ ನಿಜ್ನಿ ನೋವೊಗ್ರಾಡ್ - ಇಂದಿನ ಗಾರ್ಕಿ - ನಲ್ಲಿ ಅವನು ಜನಿಸಿದ. ಕಾಜನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯವನ್ನು 13ನೇ ವಯಸ್ಸಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸಿದ. ಮುಂದೆ 20ನೇ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲಿ ಸಹಾಯಕ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕನಾದ. ಅನಂತರ ಅಧ್ಯಕ್ಷನೂ (ರೆಕ್ಟರ್) ಆದ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯವೇ ತನ್ನ ಬದುಕು ಎಂಬಂತೆ ಅವನು ಅದನ್ನು ಪ್ರೀತಿಸಿದ, ಅದಕ್ಕಾಗಿ ದುಡಿದ.

ಭೂಮಿ ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಮಗೆ ಗೊತ್ತು. ಆದರೆ ಅದು ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ (ಅಥವಾ ಅವನ ಹಿಂದಿನವರು) ಬಗೆದುದರ ಮೇಲೆ ಅವನು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದ. ಇದನ್ನೇ ಸತ್ಯ ಎಂದು ಜನ ನಂಬಿದರು. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಡಗಿದ ಸತ್ಯ ಹೊರಬರಲು ಸುಮಾರು 2 ಸಾವಿರ ವರ್ಷಗಳು ಬೇಕಾದುವು. ಹಾಗೆ ಸತ್ಯವನ್ನು ಹೊರ ತಂದವನು ಲಬಚೇಫ್‍ಸ್ಕಿ. ತನ್ನ ಪ್ರತಿಷ್ಠೆಯನ್ನೇ ಪಣವಾಗಿಟ್ಟು ಅವನು ಆದ್ಯುಕ್ತಿಯೊಂದನ್ನು ಧಿಕ್ಕರಿಸಿದ. ದತ್ತ ರೇಖೆಗೆ ಒಂದು ಹೊರಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು (ಉದಾ : ಎರಡು) ಅಛೇಧಕಗಳಿರುವ ಊಹೆಯ ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಪಂಥವನ್ನು ಅವನು ಬಲಪಡಿಸಿದ. ಇವೆಲ್ಲಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಅವನು ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕತ್ವ ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಕ್ಷ ಪದವಿಗಳನ್ನು ಕಳಕೊಂಡ.

ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಸುವರ್ಣ ಮಹೋತ್ಸವ ಸಂಧರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವನು ತನ್ನ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಿ ದಾಖಲಿಸಿದ. ಏಕೆಂದರೆ ಆಗ ಲಬಚೇಫ್‍ಸ್ಕಿಗೆ ಕಣ್ಣು ಕಾಣುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ.

ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅಜಮಾಸಿ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವಂತೆ ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಅವನು ಸಾಧಿಸಿದ. ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಆಕ್ಷೇಪ ಎತ್ತುವ ಲಬಚೇಫ್‍ಸ್ಕಿ ಶೈಲಿಯ ಪ್ರಭಾವ ಮುಂದೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕ್ಷೇತ್ರದಾಚೆಗೂ ಕಂಡು ಬಂತು.

ಸೌಜನ್ಯ :- ಬಾಲವಿಜ್ಞಾನ, ಕರಾವಿಪ, ಬೆಂಗಳೂರು

ಅಮೂರ್ತ ಕೈವಾರ-ಗೆರೆಕಡ್ಡಿ

(ಕಂಪಾಸ್ - ರೂಲರ್/ಸ್ಟ್ರೈಟ್ ಎಜ್) ಪರಿಕಲ್ಪನೆ :

ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಗುಂಟ ನೀವು....., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..... ಇತ್ಯಾದಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಮ ಸಮ ದೂರಗಳಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಗುರುತುಗಳ ನಡುವೆ ಭಾರೀ ಅಂತರ ಇದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜೊತೆಗೆ 1/4, 1/2, 2/3 ಇತ್ಯಾದಿ ಭಿನ್ನಾಂಕಗಳ ಸಂವಾದಿಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಈ ಬಗೆಯ ಅಂತರಗಳನ್ನು ಸತತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತ ಹೋಗಬಹುದು. ಈ ಮೂಲಕ ಗುರುತುಗಳು ಅತಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಅಂತರಗಳೇ ಇಲ್ಲದಂತೆ ತೋರಬಹುದು. ಆದರೆ ಈ ತೋರಿಕೆ ನೀವು ಪೆನ್ಸಿಲ್‍ನಿಂದ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಎಳೆದ ಮೂರ್ತ ಗೆರೆಗಷ್ಟೇ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದು. ಜ್ಯಾಮಿತಿಜ್ಞರ ಅಮೂರ್ತ ರೇಖೆಯಾದರೋ ಈ ಮೂರ್ತಗೆರೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 1/4, 1/2, 2/3 ಮುಂತಾದ ಪರಿಮೇಯ (ರ್ಯಾಷನಲ್) ಸಂಖ್ಯಾಗುರುತುಗಳು ಎಷ್ಟೇ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದ್ದಾಗ್ಯೂ ಆ ಅಮೂರ್ತ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ , , ಮುಂತಾದ ವರ್ಗಕರಣಿಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಿಯಾದ ಜಾಗಗಳು ಖಾಲಿಯಾಗಿಯೇ ಉಳಿದಿರುತ್ತವೆ! ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಮನಗಂಡ ಪೈಥಾಗೊರಸನು ವ್ಯಾಕುಲ ಚಿತ್ತನಾದನಷ್ಟೆ.

ಇಂಥ ವರ್ಗಕರಣಿಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಿಯಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಲ್ಲ ಅಮೂರ್ತ ಸಾಧನ ಸಮುಚ್ಚಯವೇ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಜ್ಞರ `ಕೈವಾರ-ಗೆರೆಕಡ್ಡಿ'! ಸಮಸ್ತ ವರ್ಗಕರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದಾಗ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮಟ್ಟಿಗೆ ನಾವು ಕಲ್ಪಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭರ್ತಿಯಾಯಿತೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಆಗಲೂ , ಮುಂತಾದವುಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಿಯಾದ ಜಾಗಗಳು, ಖಾಲಿಯಾಗಿಯೇ ಉಳಿದಿರುತ್ತವೆ.

ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಮೊದಲಾದ ಮುಂದಿನ ತಲೆಮಾರುಗಳ ಜಾಮಿತಿಜ್ಞರು, ಈ ಕೈವಾರ-ಗೆರೆಕಡ್ಡಿ ಸಾಧನ ಸಮುಚ್ಚಯದ ಪರಿಮಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಅಸಂತುಷ್ಟರಾಗಿ, ಆ ಸಮುಚ್ಚಯವನ್ನು

ಗುರುತು 1

ಗುರುತು 2

ಚಿತ್ರ-4ಂ : ಗುರುತುಗಳಿರುವ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸನ ಗರಿಕಡ್ಡಿ

ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿಸ್ತೃತಗೊಳಿಸುವ ಅಲ್ಪಯಶಸ್ಸಿನ ಪ್ರಯತ್ನ ಮಾಡಿದರು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗೆರೆಕಡ್ಡಿಯ (ಚಿತ್ರ-4ಂ) ಮೇಲೆ ಗುರುತುಗಳಿರಲು ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟನು. ಈ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಗುರುತು ಕಡ್ಡಿಯನ್ನು ಸರಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಕೋನವನ್ನು ಮೂರು ಸಮಭಾಗಗಳನ್ನಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸನ ರಚನಾ ಕ್ರಮವನ್ನು ಚಿತ್ರ-4ಃ ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. (ಇಲ್ಲಿ 3u ಕೋನದ 1/3 ಭಾಗ u).

ವೃತ್ತ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವಂತೆ ಗುರುತು ಕಡ್ಡಿಯನ್ನು u ಕೋನ ನಿರ್ಧಾರದ ಬಳಿಕ ಸರಿಸಿದರೆ 3u ಕೋನದೊಳಗೇ ಅದನ್ನು ತ್ರಿಭಾಗಿಸಿ ಸಿಗುವ u ಕೋನವನ್ನೂ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಪೆÇ್ರ|| ಎಸ್.ಆರ್. ಮಾಧೂರಾವ್, ಪೆÇ್ರ|| ಅಡ್ಯನಡ್ಕ ಕೃಷ್ಣ ಭಟ್

ಸೌಜನ್ಯ :- ಬಾಲವಿಜ್ಞಾನ, ಕರಾವಿಪ, ಬೆಂಗಳೂರು

ಸಿರಿಭೂವಲಯ

ನಂದಿಬೆಟ್ಟದ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿದ್ದರೆನ್ನಲಾದ `ಕುಮುದೇಂದು' ಎಂಬ ಜೈನಮುನಿ ರಚಿಸಿದ ಅಂಕಾಕ್ಷರ ಕಾವ್ಯ. ಇದರಲ್ಲಿ 1 ರಿಂದ 64 ಸಂಖ್ಯೆನ್ನು ಕನ್ನಡ ಅಂಕೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಿ, 1200 ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಓದುವ ವಿಧಾನ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಒಂದು ಧ್ವನಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಅಂಕೆ+ಅಕ್ಷರದ ಕಾವ್ಯ ಜಗತ್ತಿನ ಅನೇಕ ಶಾಸ್ತ್ರ, ಭಾಷೆಗಳನ್ನು, ಪುಷ್ಪಾಯುರ್ವೇದ, ಗಣಿತ ಮುಂತಾದವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಸಂಗ್ರಹ : ಎನ್.ಕೆ.ರಾವ್

ಕೆಲವು ಅಗತ್ಯ ಮಾಹಿತಿಗಳು

1) ಮೂಲಮಾನಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ನಿಯಮಗಳಿಗೆವೆಯೇ?

ನಿಯಮಗಳಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಇವುಗಳಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ಹಾಗೂ ನಿಖರ ನಿರ್ದೇಶನಗಳನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ.

ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ಸಂಕೇತಕ್ಕೂ ನಡುವೆ ಒಂದು ಖಾಲಿ ಸ್ಥಳವಿರಬೇಕು. ಉದಾ : 12 ಛಿm ಸರಿ. ಆದರೆ 12 ಛಿm ಸೆಂ.ಮಿ. ತಪ್ಪು. ಇದಕ್ಕಿರುವ ಒಂದು ಅಪವಾದವೆಂದರೆ ಕೋನ ಹಾಗೂ ಉಷ್ಣತೆಯ ಮೂಲಮಾನವಾದ o .

ಟ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿದ್ದರೂ ಬಹುವಚನ ಬಳಸಬಾರದು. 15 ಛಿms ತಪ್ಪು : 15 ಛಿm ಸರಿ.

ಟ ಮೂಲಮಾನದಿಂದ ವಾಕ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಾರದು. ಉದಾ : ಞg ಯನ್ನು ನಾವು ಹೀಗೆ....

ಟ ಈ ಮೂಲಮಾನಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಭಾಷೆಯಲ್ಲೂ ಹಾಗೆಯೇ ಉಳಿದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅನುವಾದ ಮಾಡಬಾರದು. ಉದಾ : ಛಿm ಬದಲು ಸೆಂ.ಮೀ. ಎಂದು ಬರೆಯಬಾರದು.

ಟ ಮೂಲಮಾನ ಬರೆದ ನಂತರ ಚುಕ್ಕಿ ಇಡಬಾರದು. ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಅಪವಾದವೆಂದರೆ ವಾಕ್ಯದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಬಂದಾಗ ಚುಕ್ಕಿ ಇಡಬಹುದು. ಉದಾ : 2 ಛಿm. ತಪ್ಪು : 2 ಛಿm ಸರಿ

ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವುದಕ್ಕಿಂತ ದಶಮಾಂಶದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವುದು ಉತ್ತಮ. 3 ಞg ಬದಲು 3.5 ಞg

ಟ ವ್ಯಕ್ತಿಮೂಲವಾದ ಮೂಲಮಾನಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಉಳಿದೆಲ್ಲಾ ಮೂಲಮಾನಗಳ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ ಇಂಗ್ಲೀಷಿನ ದೊಡ್ಡಕ್ಷರ ಬಳಸಬಾರದು.

ಉದಾ : m ಸರಿ ಒ ತಪ್ಪು

g ಸರಿ ಉ ತಪ್ಪು

ಓ ಸರಿ (ನ್ಯೂಟನ್)

W ಸರಿ (ಜೇಮ್ಸ್ ವ್ಯಾಟ್) ಇತ್ಯಾದಿ

ಟ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿದ್ದರೆ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆ ಬರೆಯಬೇಕು.

ಉದಾ : .27 g ತಪ್ಪು 0.27 g ಸರಿ

2) ಗಣಿತದಲ್ಲಿ mಟಿemoಟಿiಛಿs (ಜ್ಞಾಪಕ ಸಾಧನಗಳು) ಆಂಗ್ಲ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ mಟಿemoಟಿiಛಿs ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಸ್ಥಿತಿ ಸೂಚಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಗಮನಹರಿಸೋಣ. ವಿಜ್ಞಾನ / ಗಣಿತ / ಸಮಾಜ ವಿಜ್ಞಾನ ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುವಾಗ ಅನೇಕ ಶಬ್ದಗಳನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ತಕ್ಷಣ ಹೊರಹಾಕಬೇಕಾದ ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತೆ ಮತ್ತೆ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಥ ಸಂದರ್ಭದ ಅಪದ್ಬಾಂಧವನಂತೆ ಈ mಟಿemoಟಿiಛಿs ಗಳು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ಇದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಆಂಗ್ಲ ಭಾಷೆಯ ಈ ವಾಕ್ಯ ನೋಡಿ

ಅಂಓ I ಊಂಗಿಇ ಂ ಐಂಖಉಇ ಅಔಓಖಿಂIಓಇಖ ಔಈ ಅಔಈಈಇಇ ?

3 1 4 1 5 9 2 6

ಇಲ್ಲಿರುವ ವಾಕ್ಯದ ಪ್ರತಿಪದದಲ್ಲಿರುವ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಿ ಬರೆದರೆ ಅದು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ.

3 1 4 1 5 9 2 6

ಮೂರರ ನಂತರ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವನ್ನಿಟ್ಟರೆ ಇದು ಠಿ ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ವಾಕ್ಯವಾಯಿತು !

ಟ ಏiಟಿg ಊeಟಿಡಿಥಿ ಆieಜ ಆಡಿiಟಿಞiಟಿg ಅhoಛಿoಟಚಿಣe ಒiಟಞshಚಿಞe.

ಮೊದಲಕ್ಷರಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಏiಟo, heಛಿಣಚಿ, ಜeಛಿಚಿ, ಜeಛಿi, ಛಿeಟಿಣi ಹಾಗೂ miಟಟi ಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತಿಲ್ಲವೇ?

ಟ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ

ಒಥಿ ಗಿeಡಿಥಿ ಇಜಿಜಿiಛಿieಟಿಣ ಒoಣheಡಿ ಎusಣ Seಡಿveಜ Us ಓIಠಿಠಿಚಿಣಣus.

ಈ ವಾಕ್ಯದಲ್ಲಿ ಬರುವ ಪದಗಳ ಮೊದಲ ಅಕ್ಷರಗಳು ಸೂರ್ಯಮಂಡಲದ ಗ್ರಹಗಳ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಲು ಸಹಕಾರಿಯಾಗಿವೆ.

ಒeಡಿಛಿuಡಿಥಿ, ಗಿeಟಿus, ಇಚಿಡಿಣh, ಒಚಿಡಿs, ಎಚಿಠಿiಣeಡಿ, Sಚಿಣuಡಿಟಿ, Uಡಿಚಿಟಿus, ಓeಠಿಣuಟಿe.

ಅಂಶ ಹಾಗೂ ಛೇದಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನು ಮೇಲೆ ಬರೆಯಬೇಕು ಎಂಬ ಗೊಂದಲವಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಟಿUmeಡಿಚಿಣoಡಿ Uಠಿ ಆeಟಿomiಟಿಚಿಣoಡಿ ಆoತಿಟಿ

ರೋಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಐ=50, ಅ=100, ಆ=500, ಒ=100

ಐಚಿxmi ಅಚಿಟಿ'ಣ ಆo ಒಚಿಣhs.

ಆದರೆ ಕನ್ನಡದಲ್ಲಿ ಇಂಥಗಳ ಸಂಗ್ರಹ ಇದ್ದಂತೆ ತೋರುತ್ತಿಲ್ಲ. ದಯಮಾಡಿ ನೀವು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಇಂಥ ಕೆಲವನ್ನು ಕಳಿಸಿಕೊಡುವಿರಾ?

ಸೌಜನ್ಯ : ಡಾ. ಎಸ್.ಎನ್. ಗಣನಾಥ್, ಸುವಿದ್ಯಾ, ಮೈಸೂರು

``ಥೂ ಹಾಳು ಗಣಿತ....

ಸೌಜನ್ಯ : ವಿ.ಎಸ್.ಎಸ್. ಶಾಸ್ತ್ರಿ, ಕೋಲಾರ

9448714793

....ಹೀಗೆಂದು ತನ್ನ ಕೈಯಲ್ಲಿದ್ದ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ರೊಯ್ಯನೆ ಗೋಡೆಗೆಸೆದ ಸುರೇಶ. ಆ ಗಣಿತ ಪುಸ್ತಕ ಗೋಡೆಗೆ ಅಪ್ಪಳಿಸಿ ಕೆಳಗೆ ಬಿತ್ತು. ಸುರೇಶನಿಗೆ ಹಾಯೆನ್ನಿಸಿತು. ಕೋಪ ಹಾರಿ ಹೋಗಿತ್ತು. ಅಮ್ಮನಿಗೆ ನಾನು ಎಸೆದದ್ದು ಗೊತ್ತಾದರೆ ಎಂದು ಭಯವಾಯಿತು. ತಕ್ಷಣ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಬಂದು ತನ್ನ ಮುಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡ. ``ಚರಿತ್ರೆ ಪುಸ್ತಕ ಎಷ್ಟು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಓದಿಸಿಕೊಂಡು ಹೋಗುತ್ತವೆ, ವಿಜ್ಞಾನದ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಗಳು ಎಷ್ಟು ಚೆನ್ನಾಗಿವೆ, ಕನ್ನಡ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಕಥೆಗಳಿವೆ. ಈ ಹಾಳು ಗಣಿತದಷ್ಟು ಒಣ ವಿಷಯ ಪುಸ್ತಕ ಇನ್ನೊಂದಿಲ್ಲ. ಹೀಗೆಂದು ತನಗೆ ತಾನೇ ಹೇಳಿಕೊಂಡ. ಹಾಗೆಯೇ ಯೋಚಿಸುತ್ತಾ ನಿದ್ದೆ ಮಾಡಿದ.

ಆಮೇಲೆ ಎದ್ದು ವಾಕಿಂಗ್ ಹೊರಟ. ಮಂದವಾದ ಬೆಳಕು, ತಂಪಾದ ಗಾಳಿ, ಏರಿ ಬರುವ ಅಲೆಗಳ ಸಪ್ಪಳ. ಒದ್ದೆಯಾದ ಕಾಲುಗಳ ಕೆಳಗೆ ಮರಳು. ಹಿತವಾದ ಜುಳು-ಜುಳು ಸದ್ದು; ಸುರೇಶ ಕೆರೆಯ ಏರಿಯ ಮೇಲೆ ನೋಡುತ್ತಿದ್ದಂತೆಯೇ, ಸಂನ್ಯಾಸಿಯೊಬ್ಬ ಎದುರಿಗೆ ಬಂದ. ಬಹಳ ಚುರುಕಾಗಿ ನಡೆಯುತ್ತಿದ್ದ ``ಯಾರೋ ಹೊಸಬರು ಎಂದು ಸುರೇಶ ಯೋಚಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆಯೇ, ಆ ಸಂನ್ಯಾಸಿ ಹತ್ತಿರಕ್ಕೆ ಬಂದು, ``ನಮಸ್ಕಾರ ಎಂದ. ಸುರೇಶ ಗಾಬರಿಯಿಂದ ನಮಸ್ಕರಿಸಿದ. ``ನಾನು ಈ ಊರಿಗೆ ಹೊಸಬ, ನಾನು ಒಂದು ಅಡ್ರೆಸ್ ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇನೆ, ನೀವು ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದೆ? ಎಂದ ಸಂನ್ಯಾಸಿ, ``ಖಂಡಿತ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬೆಂಚ್ ಇದೆ. ಕುಳಿತುಕೊಳ್ಳೋಣ ಬನ್ನಿ ಎಂದು ಕೈ ತೋರಿಸಿದ. ಆ ಸಂನ್ಯಾಸಿಯೇ ಚಕ ಚಕ ನಡೆದು ಬೆಂಚ್‍ನ ಮೇಲೆ ಮೊದಲು ಕುಳಿತುಬಿಟ್ಟ. ``ನಾನು ಬಹಳ ಸುತ್ತಾಡಿದ್ದೇನೆ. ಅನೇಕ ಊರುಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇನೆ. ನನ್ನ ಹೆಸರು ಗಣಿತಾನಂದ.

``ಹ್ಞಾ ಗಣಿತಾನಂದ! ಹೀಗೂ ಹೆಸರು ಇರುತ್ತಾ!

``ಯಾಕಪ್ಪ ಗಾಬರಿ. ನನ್ನ ಹೆಸರೇ ಅದು.

``ನನಗೆ ಗಣಿತ ಅಂದರೇನೇ ದ್ವೇಷ. ಇಷ್ಟಕ್ಕೂ ಅದರಿಂದ ಪ್ರಯೋಜನವೇನು ಬಿಡಿ, ನನಗೆ ಬೇರೆ ವಿಷಯಗಳು ಇಷ್ಟವಾಗುತ್ತವೆ.

``ಈಗ ನನಗೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವಾಗ್ತಾ ಇದೆ. ಗಣಿತವನ್ನು ದ್ವೇಷಿಸುವವರೂ ಇದ್ದಾರೆಯೆ?

``ಖಂಡಿತಾ ಇದ್ದಾರೆ. ನಾನೇ ನಿಮ್ಮ ಮುಂದಿದ್ದೇನೆ.

``ಇರಲಿ ಬಿಡಪ್ಪಾ. ಈಗ ದ್ವೇಷ, ಪ್ರೀತಿ ಮಾತೇಕೆ. ಇನ್ನೇನಾದರೂ ಮಾತಾಡೋಣ. ನಾನು ಹೀಗೇ ನಡೆದುಕೊಂಡು ಬರ್ತಿರೋವಾಗ ಅಲ್ಲಿ ಮೊಬೈಲ್ ಟವರ್ ನಿಲ್ಲಿಸ್ತಾ ಇದ್ರು. ದೊಡ್ಡ ಕ್ರೇನ್ ಅಲ್ಲಿತ್ತು ಎಂದರು.

``ಹೌದು ಈಗ ಎಲ್ಲ ಕಡೆ ಟವರ್ ನಿಲ್ಲಿಸ್ತಾ ಇದ್ದಾರೆ. ಕನೆಕ್ಟಿವಿಟಿ ಸಿಗಬೇಕಲ್ಲ.

``ನಾನು ಅವರನ್ನು ಕೇಳಿದ್ದು ಬೇರೆ. ನಾನು ಇಡೀ ದೇಶ ಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ. ಕೆಲವು ಕಡೆ ಮೊಬೈಲ್ ಟವರ್‍ಗಳೇ ಇರೋದಿಲ್ಲ. ಇನ್ನು ಕೆಲವು ಕಡೆ ಹೆಜ್ಜೆಗೊಂದು ಸಿಗುತ್ತೆ ಏಕೆ ಹೀಗೆ ಎಂದೆ.

``ಹೌದಲ್ಲಾ. ನನಗೂ ಇದೇ ಯೋಚನೆ ಇತ್ತು ಎಂದ ಸುರೇಶ.

``ನನಗೆ ಆ ಮೊಬೈಲ್ ಟವರ್ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ಹೇಳಿದ್ದು ಆಶ್ಚರ್ಯ ತಂದಿತು.

``ಏನು ಹೇಳಿದರು ಅವರು.

``ನಾವು ಇದಕ್ಕೊಂದು ಫಾರ್ಮುಲಾ ಇಟ್ಟುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಅದನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಟವರ್ ಹಾಕ್ತೇವೆ ಎಂದರು.

``ಯಾವ ಫಾರ್ಮುಲಾನಪ್ಪ ಎಂದೆ.

``ಅದೇ ಸಾರ್ ನೀವು ಹೈಸ್ಕೂಲಿನಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆ ಫಾರ್ಮುಲ ಬಳಸ್ತೀರಲ್ಲ. ಅದೇ!

``.... ಇದೇ ಫಾರ್ಮುಲಾನೇ

``ಹೌದು. ಇದರಲ್ಲಿ ಕೊಂಚ ಬದಲಾವಣೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ತೇವೆ.

ಓ = ಎರಡು ಟವರ್ ನಡುವೆ ಪ್ರತಿದಿನ ಇರಬಹುದಾದ ಕಾಲ್‍ಗಳು.

P1P2 = ಎರಡು ಟವರ್‍ಗಳು ಇರುವ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಜನಸಂಖ್ಯೆ

ಜ = ಎರಡು ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ.

P1P2 ಗಳನ್ನು ಸಾವಿರಗಳ ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಜ ಯನ್ನು ಮೈಲಿಗಳಲ್ಲಿ ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

``ನಮ್ಮ ಗ್ರಾವಿಟಿ ಫಾರ್ಮುಲಾ ಇದಕ್ಕೂ ಬಳಕೆ ಆಗುತ್ತಾ. ಆಶ್ಚರ್ಯವಾಗುತ್ತೆ ಎಂದ ಸುರೇಶ.

``ನನಗೂ ಆಶ್ಚರ್ಯವಾಯ್ತಪ್ಪ. ಇಲ್ಲಿ `ಏ' ಎಂದರೆ ಎಷ್ಟು ಎಂದು ಕೇಳಿದೆ?

ಅದಕ್ಕವರು, ``ಈಗಾಗಲೇ ಟವರ್ ನಿಲ್ಲಿಸಿರುವ ಕಡೆಯಿಂದ P1P2ಜ1ಓ ಗಳನ್ನು ಹಾಕಿ `ಏ' ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದು ಈ ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ 400 ಆಗಿದೆ ಎಂದ.

``ನನಗೆ ಈ ವಿಷಯ ಗೊತ್ತೇ ಇರಲಿಲ್ಲ ಎಂದ ಸುರೇಶ.

``ನನಗೂ ಅಷ್ಟೆ. ಇನ್ನೂ ಕೇಳು, ನೀವು ಟವರ್ ನಿಲ್ಲಿಸ್ತೀರಲ್ಲ ಅದರ ಲೆಕ್ಕ ಹೇಗೆ ಎಂದೆ.

``ಟವರ್ ನಿಲ್ಲಿಸೋ ಲೆಕ್ಕ ಅಂದರೆ ಎಂದ ಸುರೇಶ.

``ಎಷ್ಟು ಎತ್ತರಕ್ಕೆ; ಕೆಳಗಿನ ತಳ ಎಷ್ಟು ಅಗಲ ಇರಬೇಕು ಎನ್ನುವ ಲೆಕ್ಕ. ಎತ್ತರದ ಟವರ್ ಗಾಳಿಗೆ ಅಲುಗಾಡಿ ನೆಲ ಕಚ್ಚಬಾರದಲ್ಲ

``ಹೌದು ಹೌದು ಟವರ್ ಬಿದ್ದರೆ ಏನು ಗತಿ ಎಂದ ಸುರೇಶ.

``ಅವನು ಹೇಳಿದ್ದು ಎಷ್ಟು ಸರಳ ಅನ್ನಿಸ್ತು.

``ಏನೆಂದ

``ಸಿಗ್ನಲ್ ಎಷ್ಟು ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಸಿಗುತ್ತೆ ಅಂತ ಟೆಸ್ಟ್ ಮಾಡ್ತೀವಿ. ಆ ಎತ್ತರವನ್ನು ಸೆಂಟಿಮೀಟರಿನಲ್ಲಿ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಲಂಬಗೆರೆ ಹಾಕಿಕೋಳ್ತೀವಿ. ತುದಿಯಿಂದ 150 ಅಚೀಚೆ ಗೆರೆ ಎಳೆದರೆ. ಒಂದು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜ ಸಿಗುತ್ತೆ. ಇದರ ತಳ ಅಳೆದರೆ ಆಯಿತು ಎಂದ.

``ಇಷ್ಟೇನಾ. ನಾನು ಇದನ್ನು 8ನೇ ಕ್ಲಾಸ್‍ನಲ್ಲೇ ಓದಿದ್ದೆ ಎಂದ ಸುರೇಶ.

``ನನಗೂ ಹಾಗೇ ಅನ್ನಿಸ್ತು. ನಾನು 150 ನೇ ಯಾಕೆ? ಅಂದೆ. ಅದು ನಮ್ಮ ಅನುಭವದಿಂದ ಬಂದಿದೆ ಸಾರ್ ಎಂದು ಹೇಳಿದ. ಇದೂ ಮುಖ್ಯ ಅಲ್ಲವೇ ಎಂದರು ಗಣಿತಾನಂದರು.

``ಸರಿ ನಿಮಗೆ ಗಣಿತಾನಂದ ಅಂತ ಹೆಸರು ಏಕಿದೆ ಅಂತ ಗೊತ್ತಾಯ್ತು. ಎಷ್ಟೊಂದು ಗಣಿತ ಗೊತ್ತಿದೆ ಎಂದ ಸುರೇಶ.

``ನನಗೇನು ಗಣಿತ ಗೊತ್ತಿದೆಯಪ್ಪಾ. ನಾನು ಓದಿದ್ದು ಕಡಿಮೆ. SSಐಅ ವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ. ಅದೇ ಗಣಿತ ಮೊಬೈಲ್ ಟವರ್‍ಗೆ ಬಳಕೆಯಾಗತ್ತಲ್ಲಾ ಅಂತ ಖುಷಿಯಾಯ್ತು.

``ನನಗೂ ಅಷ್ಟೇ ಆಶ್ಚರ್ಯ. ಅವರು ಏನೋ ದೊಡ್ಡ ಗಣಿತ ಬಳಸ್ತಾರೆ ಅಂದುಕೊಂಡಿದ್ದೆ.

``ನೀನು ಈ ನಡುವೆ ಕೆಎಸ್‍ಆರ್‍ಟಿಸಿ ಬಸ್‍ಸ್ಟಾಂಡಿಗೆ ಹೋಗಿದ್ದೆಯೇನಪ್ಪ?

``ಹೋಗಿದ್ದೀನಿ

``ನೋಡು, ಮೊದಲು ಬಸ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡ್‍ನಲ್ಲಿ ಬಸ್‍ಗಳನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿ ನಿಲ್ಲಿಸ್ತಾ ಇದ್ದರು. ಈ ಖಾಸಗಿ ಬಸ್ ನಿಲ್ದಾಣಗಳಿರುತ್ತಲ್ಲ ಹಾಗೆ. ಆದರೆ ಈಗ 600 ಕೋನದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲಿಸ್ತಾರೆ. ಗಮನಿಸಿದ್ದೀಯ.

``ಬಸ್‍ಗಳನ್ನು ಕ್ರಾಸ್ ಆಗಿ ನಿಲ್ಲಿಸ್ತಾರೆ ಅಂತಗೊತ್ತು. ಅದು 600 ಅಂತ ಗೊತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ.

``ಇದು ಯಾಕೆ ಅಂದ್ರೆ ಬಸ್‍ಗಳು ನಿಲ್ದಾಣದ ಒಳಗೆ ಬರುವಾಗ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಹೊರಕೋನ. ಅಂದರೆ 1200 ಟರ್ನ್‍ಗಳಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಿ ನಿಲ್ದಾಣದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತೆ.

``ಅಂದರೆ

``ಬಸ್ ಲಂಬವಾಗಿ ನಿಲ್ಲಬೇಕಾದ್ರೆ 900 ವಕ್ರವಾಗಿ ನಿಲ್ಲಬೇಕು. ಇದು ಕಷ್ಟ. ಆದರೆ 1200 ಸಲೀಸಾಗಿ ಟರ್ನ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಬಸ್ ಹೊರಗೆ ತೆಗೆಯುವಾಗಲೂ ಅಷ್ಟೆ. 900 ಟರ್ನ್‍ಗಿಂತ 1200 ಟರ್ನ್ ಸುಲಭ.

``ಕೆಎಸ್‍ಆರ್‍ಟಿಸಿಯವರು ಇದನ್ನೆಲ್ಲಾ ಮಾಡ್ತಾರಾ?

``ಖಂಡಿತಾ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಕೆಎಸ್‍ಆರ್‍ಟಿಸಿಯವರೇ ಅಲ್ಲ. ರೈಲ್ವೆಯವರೂ ಹೀಗೆ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ.

``ರೈಲ್ವೆಯವರು ಏನು ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ ಸಾರ್.

``ನೀನು ನಿಮ್ಮ ಊರಿನ ರೈಲ್ವೆ ನಿಲ್ದಾಣ ನೋಡಿಲ್ಲವೆ? ಒಮ್ಮೆ ಹೋಗಿ ನೋಡು.

``ಸಾರ್ ನೀವೇ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೇಳಿ

``ನಿಮ್ಮ ಊರು ಕೋಲಾರದಲ್ಲಿ ನ್ಯಾರೋ ಗೇಜ್ ರೈಲು ಬಂದದ್ದು 1910ರಲ್ಲಿ.

ಬಂಗಾರಪೇಟೆಯಿಂದ ಕೋಲಾರಕ್ಕೆ ಬಂದ ರೈಲು ಮತ್ತೆ ಬಂಗಾರಪೇಟೆಗೆ ಹೋಗಬೇಕಾಗಿತ್ತು.

ಆಗೆಲ್ಲಾ ಸ್ಟೀಮ್ ಎಂಜಿನ್ನಗಳೇ ಇದ್ದದ್ದು. ಅವಕ್ಕೆ ಗೇರ್ ಬಾಕ್ಸ್‍ಗಳು ಇರುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೆ, ಎಂಜಿನ್ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಚಲಿಸುತ್ತಿತ್ತು. ಹಿಮ್ಮುಖ ಚಲನೆ ಬಹಳ ದೂರಕ್ಕೆ ಅಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತಿತ್ತು.

``ಹೌದು. ಇಷ್ಟೆಲ್ಲಾ ಕಷ್ಟ ಇತ್ತಾ

``ಹೌದು. ಹಾಗಾಗಿ ಬಂಗಾರಪೇಟೆಯಿಂದ ಬಂದ ರೈಲನ್ನು ಪ್ಲಾಟ್‍ಫಾರಂನಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲಿಸಿ, ಎಂಜಿನ್ ಕಳಚಿ,

ಅದನ್ನು ಮತ್ತೆ ಬಂಗಾರಪೇಟೆಯ ಕಡೆ ಮುಖ ತಿರುಗಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಅದಕ್ಕೆ ಅವರು ಹೀಗೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರು. ಗಣಿತಾನಂದರು ನೆಲದ ಮೇಲೆ ಕಡ್ಡಿಯಿಂದ ಒಂದು ಚಿತ್ರ ಬರೆದರು.

``ಬಂಗಾರಪೇಟೆಯಿಂದ ಬಂದ ರೈಲು ಪ್ಲಾಟ್‍ಫಾರಂನಲ್ಲಿ ನಿಂತಾಗ. ಕಳಚಿದ ಎಂಜಿನ್ ಅ ಯಿಂದ ಆ ಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತಿತ್ತು ಬಳಿಕ ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗಿ ಆ ಯಿಂದ ಇ ಗೆ ಬಂದು ಈ ಗೆ ಹೋಗಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತಿತ್ತು. ಮತ್ತು ಈ ನಿಂದ ಃ ಗೆ ಬಂದು, ಂ ವರೆಗೂ ಸಾಗಿ ನಿಂತು, ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗಿ ಂ ಯಿಂದ ಃ ಗೆ ಬರುತ್ತಿತ್ತು. ಅಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದ್ದ ರೈಲು ಬೋಗಿಗಳಿಗೆ ಲಿಂಕ್ ಮಾಡುತ್ತಿತ್ತು. ಈಗ ಬರುವಾಗ ಕೋಲಾರದ ಕಡೆಗಿದ್ದ ಎಂಜಿನ್ ಬಂಗಾರಪೇಟೆಗೆ ತಿರುಗುತ್ತಿತ್ತು.

``ಅಬ್ಬಾ ಎಂತಹ ಟೆಕ್ನಿಕ್ ಅಲ್ವಾ

``ಟೆಕ್ನಿಕ್ ಇರಲಿ. ಇದರಲ್ಲಿನ ಗಣಿತ ನೋಡು

``ಇಲ್ಲೇನು ಗಣಿತ ಇದೆ ಸಾರ್

``ಯಾಕಪ್ಪ ಇಡೀ ಚಲನೆ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ಹಾಗೆ ಕಾಣುವುದಿಲ್ಲವೇ?

``ಹೌದಲ್ಲಾ. ನಾನು ಗಮನಿಸಿರಲಿಲ್ಲ. ತ್ರಿಕೋನದ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ಎಂಜಿನ್ ರಿವರ್ಸ್ ಆಗುತ್ತಲ್ಲಾ ಸಾರ್

``ಯಾಕೆ ಆಗುತ್ತೆ ಗೊತ್ತಾ. ತ್ರಿಕೋನ ಒಳಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 1800. ಅದರ ಹೊರ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 3600. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಎಂಜಿನ್ ತನ್ನ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸುತ್ತು ಹೊಡೆದ ಹಾಗೆ ಆಗುತ್ತೆ.

``ಓಹೋ ಗೊತ್ತಾಯ್ತು ಬಿಡಿ. ಆದರೆ ರೈಲ್ವೆನವರು ನಮ್ಮ ಏಳನೆಯ ತರಗತಿಯ ತ್ರಿಕೋನದ ಗಣಿತ ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ.

``ಹೌದು ಚೆನ್ನಾಗಿಲ್ಲವೆ? ಸುರೇಶನಿಗೆ ಅದೇನೋ ಖುಷಿ. ಗಣಿತಾನಂದರೊಂದಿಗೆ ಬಹಳಹೊತ್ತು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದ, ಕತ್ತಲಾಯಿತು. ``ಸಾರ್ ಮನೇಲಿ ಕಾಯ್ತಾ ಇರ್ತಾರೆ ಅಂತ ಓಟ ಕಿತ್ತ.

ಮನೆಗೆ ಬಂದಾಗಲೇ ಅವನಿಗೆ ಹೊಳೆದದ್ದು, ಗಣಿತಾನಂದರಿಗೆ ಅಡ್ರೆಸ್ ಕೊಡಲಿಲ್ಲ ಅಂತ. ಎಂತಹ ಕÉಲಸವಾಯ್ತು ಅಂತ ಬೇಸರವಾಯ್ತು ಅವನಿಗೆ. ಆದರೆ ಮತ್ತೆ ಮತ್ತೆ ಗಣಿತಾನಂದರೊಂದಿಗಿನ ಸಂಭಾಷಣೆಯನ್ನು ಜ್ಞಾಪಿಸಿಕೊಳ್ಳತೊಡಗಿದ. ಮೊಬೈಲ್ ಟವರು, ಕೆಎಸ್‍ಆರ್‍ಟಿಸಿ, ರೈಲ್ವೆ ನಿಲ್ದಾಣ, ಎಲ್ಲೆಲ್ಲೊ ತಾನು ಓದಿದ ಗಣಿತವೇ ಇದೆ.

ಸುರೇಶನಿಗೆ ಹೊಸ ಕಣ್ಣು ಬಂದಂತಾಗಿತ್ತು. ಅವರ ತಾಯಿ ಸುರೇಶನ ರೂಮಿಗೆ ಬಂದು ಅಂಗಡಿಗೆ ಹೋಗಿ ಬಾಳೆ ಹಣ್ಣು ತರಲು ಹೇಳಿದರು. ಸುರೇಶ ಅಂಗಡಿಗೆ ಹೋಗಿ ಬಾಳೆಹಣ್ಣು ತಂದು ಚಿಲ್ಲರೆಯನ್ನು ಅಮ್ಮನ ಕೈಗೆ ಕೊಡುವಾಗ ಏನೋ ಹೊಳೆಯಿತು. ``ಅಮ್ಮಾ ಆ ಎರಡು ರೂಪಾಯಿ ಈ ಕಡೆ ಕೊಡು ಎಂದು ಇಸಿದುಕೊಂಡ. ಅದನ್ನು ಸ್ಕೇಲಿನ ಮೇಲಿಟ್ಟು ಅಳೆದ. ಅದರ ಅಗಲ ಒಂದು ಇಂಚು (2.5 ಸೆಂಮೀ) ಇತ್ತು. ಅಂದರೆ ಈ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಷ್ಟು? 1/2 ಇಂಚು ಮಾತ್ರ. ಆಗ 2 ರೂ. ಬಿಲ್ಲೆಯ ಸುತ್ತಳತೆ ಎಷ್ಟು? ಅವನು ಹೀಗೆ ಮಾಡಿದ.

ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಳತೆ = 2ಠಿ ಡಿ = 2.ಠಿ.ಳಿ = ಠಿ

ಅವನಿಗೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವಾಯಿತು. ಠಿ ಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅವನಿಗೆ ಗೊತ್ತಿತ್ತು. ಆಧುನಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‍ಗಳು ಠಿ ಅನ್ನು ಎರಡು ಮಿಲಿಯ ದಶಮಾಂಶಗಳವರೆಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿವೆ ಎಂದೂ ಓದಿದ ನೆನಪಿತ್ತು. ಹೀಗೆ ನೆನಪಿಡಲಾಗದ ಉದ್ದವಾಗಿರುವ ಠಿ, ಎರಡು ರೂಪಾಯಿ ಬಿಲ್ಲೆಯ ಸುತ್ತಳತೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವನಿಗೆ ಆಶ್ಚರ್ಯ. ಗಣಿತಾನಂದರು ಸಿಕ್ಕಿದರೆ ಹೇಳಬೇಕು ಎಂದುಕೊಂಡ.

ಬೆಳಿಗ್ಗೆ ಮಾರ್ಕೆಟ್‍ಗೆ ಸುರೇಶ ತರಕಾರಿ ತರಲು ಹೊರಟ. ಯಾರೋ ಬೆನ್ನು ತಟ್ಟಿದರು. ತಿರುಗಿ ನೋಡಿದರೆ ಅವರೇ ಗಣಿತಾನಂದರು. ``ಏನಯ್ಯ ಕಡೆಗೂ ಅಡ್ರೆಸ್ ಹೇಳದೆ ಹೊರಟುಬಿಟ್ಟೆಯಲ್ಲಾ. ಎಂಥಾ ಜಾಣ ನೀನು ಅಂದರು. ``ಸಾರ್ ಕತ್ತಲೆ ಆಗಿಬಿಟ್ಟಿತ್ತು, ಅಮ್ಮ ಬೈತಾರೆ ಅಂತ ಓಡಿದೆ. ಕ್ಷಮಿಸಿ ಸಾರ್.

``ಕ್ಷಮೆ ಇರಲಿ. ಹೇಗಿತ್ತು ನಿನ್ನೆಯ ಗಣಿತ ಸಂಭಾಷಣೆ

``ಸಾರ್ ಬಹಳ ಖುಷಿ ಕೊಟ್ಟಿತು. ನಾನೂ ಒಂದು ಗಣಿತ ಕಂಡುಕೊಂಡೆ. ಅದೂ ಎರಡು ರೂಪಾಯಿ ನಾಣ್ಯದಲ್ಲಿ ಎಂದು ಎರಡು ರೂ ನಾಣ್ಯದ ಸುತ್ತಳತೆ 2ಠಿಡಿ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದ.

``ಬಹಳ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಯೋಚನೆ ಮಾಡಿದ್ದೀಯಾ ಎರಡು ರೂ ನಾಣ್ಯ ಕೈಯಲ್ಲಿ ಹಿಡಿದರೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗದ ಠಿ ಇಟ್ಟುಕೊಂಡಂತೆ ಎಂದರು ಗಣಿತಾನಂದರು, ``ನೀನು ಉಪಯೋಗಿಸಿರುವ ದಾರಿ ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ. ಹೀಗೆ ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿರುವ ಸೂತ್ರ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೊಸ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ನೋಡಿದರೆ ಹೊಸ ತಾರೆಗಳಂತೆ ಗಣಿತ ವಿಷಯಗಳು ಹೊಳೆಯುತ್ತವೆ ಎಂದು ಗಣಿತಾನಂದರು ಸೇರಿಸಿದರು.

``ಅರ್ಥವಾಗಲಿಲ್ಲ ಸಾರ್

``ಸುತ್ತಳತೆ 2ಠಿಡಿ ಸೂತ್ರವನ್ನೇ ನೋಡು.

ಹೀಗೊಂದು ಪ್ರಶ್ನೆ ಹಾಕಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಭೂಮಿಯ ತ್ರಿಜ್ಯವು 7 ಅಡಿ ಜಾಸ್ತಿಯಾದರೆ ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆ ಎಷ್ಟು ಜಾಸ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ?

``ಬಹಳ ಜಾಸ್ತಿಯೇ ಆಗಬೇಕು ಸಾರ್. ಏಳು ಅಡಿ ಎಂದರೆ ಎತ್ತರ. ಅಲ್ಲದೆ (ಡಿ+7)ನ್ನು 2ಠಿ ನಿಂದ ಗುಣಿಸ್ತೀನಲ್ಲ

``ಸರಿ, ಮಾಡಿನೋಡು ಗೊತ್ತಾಗುತ್ತೆ.

ಹೀಗೆ ಬರೆಯೋಣ ಎಂದು ಕೈ ಮೇಲೆ ಬರೆದ ಸುರೇಶ ಭೂಮಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ = 2ಠಿಡಿ

= 2ಠಿ (ಡಿ+7)

ಹೆಚ್ಚಳ = 2ಠಿ (ಡಿ+7) - 2ಠಿಡಿ

= 2ಠಿಡಿ + 2ಠಿ7 - 2ಠಿಡಿ = 2ಠಿ7 = 2 x 22/7 x 7 = 44

``ಅರೆ ಸಾರ್ ಕೇವಲ 44 ಅಡಿ ಅಷ್ಟೆ.

``ಅದಕ್ಕೇ ಹೇಳೋದು ಗಣಿತ ಅಂತ. ನೀನು ಇಲ್ಲಿ ಭೂಮಿಯ, ತ್ರಿಜ್ಯ ವ್ಯಾಸ, ಸುತ್ತಳತೆಗಳ ನಿಜವಾದ ಬೆಲೆಗಳ ತಂಟೆಗೇ ಹೋಗದೆ ಹೆಚ್ಚಳ 44 ಅಡಿ ಜಾಸ್ತಿ ಅಂತ ತಿಳಿದು ಕೊಂಡೆ.

``ಸಾರ್ ಬಹಳ ಖುಷಿಯಾಗ್ತಾ ಇದೆ. ನಾನೂ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಯೋಚನೆ ಮಾಡಿದೆನಲ್ಲಾ ಅಂತ.

ಹೀಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾ ಅಲ್ಲೊಂದು

ದೇವಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ನಡೆದರು. ಪೂಜಾ ವಿಧಿಗಳಾದ ಮೇಲೆ ಗಣಿತಾನಂದರು ಹೀಗೆಂದರು.

``ಸುರೇಶ ತಲೆ ಎತ್ತಿನೋಡು. ಆ ಭುವನೇಶ್ವರಿಯ ವಿನ್ಯಾಸ ಹೇಗಿದೆ?

``ಎಲ್ಲಾ ದೇವಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲೂ ಹೀಗೆ ಇರುತ್ತೆ ಸಾರ್. ಬರೀ ತ್ರಿಕೋನ ಮಾಡಿ ಜೋಡಿಸ್ತಾರೆ.

``ಅದು ತ್ರಿಕೋನ ಜೋಡಿಸಿರೋದಲ್ಲ, ಆಯತಾಕಾರದ ಕಲ್ಲುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿರೋದು.

``ಹೌದಾ ಅದು ಹೇಗೆ?

``ಚೌಕಾಕಾರದ ಛಾವಣಿ ಮುಚ್ಚಲು ಈ ಐಡಿಯಾ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ.

``ಸಾರ್ ನನಗೆ ಗೊತ್ತಾಗಲಿಲ್ಲ.

``ನೋಡಪ್ಪಾ ಅದು ಹೀಗೆ. ಗಣಿತಾನಂದರು ನೆಲದಲ್ಲಿ ಬೆರಳಿನಿಂದ ಬರೆದರು. ನೆಲದ ಮೇಲೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಧೂಳು ಕೂತಿತ್ತು. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೆರೆ ಕಾಣಿಸಿತು.

``ಆಚೀಚೆಯ ಬಾಹುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಆಯತಾಕಾರದ ಕಲ್ಲು ಚಪ್ಪಡಿ ಕೂಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹೀಗೆಯೇ ನಾಲ್ಕು ಕಡೆ ಮಾಡಿದಾಗ, ಚೌಕಾಕಾರದ ಛಾವಣಿ ಅರ್ಧ ಮುಚ್ಚುತ್ತದೆ.

``ಅರ್ಧ ಹೇಗೆ ಸಾರ್?

``ಅದು ಹೀಗೆ ಗಣಿತಾನಂದರು ಮತ್ತೆ ಬರೆದರು.

``ಈಗ ಅರ್ಥವಾಯ್ತಾ. ಎಲ್ಲಾ ಬಾಹುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗೆರೆಯಿಂದ ಜೋಡಿಸಿದರೆ ಮೊದಲು ಚೌಕದ ಅರ್ಧ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಚೌಕ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಮತ್ತೆ ಕಲ್ಲು ಜೋಡಿಸಿದರೆ ಇದರ ಅರ್ಧ ಚೌಕ ಮುಚ್ಚುತ್ತದೆ.

``ಸಾರ್ ಹಿಂದಿನವರದ್ದು ಎಂತಹ ಐಡಿಯಾ ಅಲ್ವಾ?

``ಹೌದು ಆಗ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಇರಲಿಲ್ಲ. ಕಲ್ಲು ಚಪ್ಪಡಿ ಸಲೀಸಾಗಿ

ಸಿಗೋದು. ಮರ ಬಳಸಿದರೆ ಬಾಳಿಕೆ ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಹಾಗಾಗಿ ಛಾವಣಿ ಮುಚ್ಚಲು ಹೀಗೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು ಏಳನೆಯ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಓದುವ ಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರು.

``ಇನ್ನು ಏನಾದರೂ ಹೇಳಿ ಸಾರ್.

``ಅಂದರೆ ಭುವನೇಶ್ವರಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಬಹುದು. ಗುಜರಾತ್‍ನ ಮೌಂಟ್ ಅಭುವಿನಲ್ಲಿರುವ ಪಾಶ್ರ್ವನಾಥನ ದೇವಾಲಯದಲ್ಲಿ ಭುವನೇಶ್ವರಿ 40 ಅಡಿ ಅಗಲವಿದೆ.

``ಅಲ್ಲೂ ಇದೇ ಟೆಕ್ನಿಕ್ ತಾನೆ?

``ಅಲ್ಲ. ಅಲ್ಲ. ವೃತ್ತಾಕಾರವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಿದ್ದಾರೆ.

``ಅಂದರೆ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಲ್ಲುಗಳನ್ನು ಒಂದರೊಳಗೊಂದು ಇರಿಸಿದ್ದಾರಾ?

``ಅಲ್ಲ. ಅದು ಹೀಗೆ. ಇಲ್ಲೂ ಆಯತಾಕಾರದ ಕಲ್ಲುಗಳನ್ನೇ ಜೋಡಿಸಿರೋದು.

``ಅಂದರೆ ಅದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಯ್ತು ವೃತ್ತ ಅಲ್ಲ.

``ಹೌದು. ಚೌಕದೊಳಗೆ ವೃತ್ತ ಕೂಡಿಸುವುದೆಂದರೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯೇ. ಏಕೆಂದರೆ ಅವರಿಗೆ ಸಲೀಸಾಗಿ ಸಿಗುತ್ತಿದ್ದುದು ಆಯತಾಕಾರದ ಚಪ್ಪಡಿಗಳೇ. ಅಲ್ಲದೆ 12 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾಹುಗಳಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯೊಂದು ದೂರಕ್ಕೆ ವೃತ್ತದಂತೆಯೇ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

``ಅಂದರೆ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಲ್ಲುಗಳನ್ನು ಒಂದರೊಳಗೊಂದು ಇರಿಸಿದ್ದಾರಾ?

``ಅಲ್ಲ. ಅದು ಹೀಗೆ. ಇಲ್ಲೂ ಆಯತಾಕಾರದ ಕಲ್ಲುಗಳನ್ನೇ ಜೋಡಿಸಿರೋದು.

``ಅಂದರೆ ಅದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಯ್ತು ವೃತ್ತ ಅಲ್ಲ.

``ಹೌದು. ಚೌಕದೊಳಗೆ ವೃತ್ತ ಕೂಡಿಸುವುದೆಂದರೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯೇ. ಏಕೆಂದರೆ ಅವರಿಗೆ ಸಲೀಸಾಗಿ ಸಿಗುತ್ತಿದ್ದುದು

ಆಯತಾಕಾರದ ಚಪ್ಪಡಿಗಳೇ. ಅಲ್ಲದೆ 12 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾಹುಗಳಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯೊಂದು ದೂರಕ್ಕೆ ವೃತ್ತದಂತೆಯೇ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

``ಸಾರ್ ತರಕಾರಿ ತೊಗೊಂಡು ಹೋಗಬೇಕು ಲೇಟಾಯ್ತು. ಮನೆಗೆ ಬರ್ತೀರಾ ಎಂದ ಸುರೇಶ.

ಗಣಿತಾನಂದರನ್ನು ಮನೆಗೆ ಕರೆದುಕೊಂಡು ಹೋಗಿ ತನ್ನ ರೂಮಿನಲ್ಲಿ ಕುಳ್ಳಿರಿಸಿದ.

``ಓಹೋ ನೀನು ಐಶ್ವರ್ಯಾ ಫ್ಯಾನ್ ಎಂದರು ಗಣಿತಾನಂದರು.

``ಸಾರ್ ಕ್ಷಮಿಸಿ. ಆ ಫೆÇೀಟೊ ಹಾಕಿ ಬಹಳ ದಿನವಾಯ್ತು.

``ಅದಕ್ಕೆ ಯಾಕಯ್ಯ ಕ್ಷಮೆ. ನೀನೇನೂ ಅಪರಾಧ ಮಾಡಿಲ್ಲ. ಒಬ್ಬೊಬ್ಬರಿಗೆ ಒಂದೊಂದು ಇಷ್ಟವಾದದ್ದು ಇರುತ್ತೆ. ಐಶ್ವರ್ಯ ಫೆÇೀಟೋ ನನಗೂ ಇಷ್ಟ.

``ಹೋ ನೀವೂ ರೈ ಫ್ಯಾನ್ ಆಗಿದ್ದೀರಾ?

``ಇಲ್ಲ. ಇಲ್ಲ. ನಾನು ಹಾಗೆ ಹೇಳ್ತಿಲ್ಲ. ಗಣಿತ ಬಳಸಿದ ಮೊದಲ ಬಾಲಿವುಡ್ ತಾರೆ ಇವಳು. ಅದಕ್ಕೇ ಇಷ್ಟ.

``ಸಾರ್ ಏನು ಹೀಗೆ ಹೇಳ್ತೀರಿ. ಅವಳ ಮುಖದಲ್ಲಿ ಗಣಿತವಿದೆಯೇ?

``ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಇದೆ. ಐಶ್ವರ್ಯ ರೈಳ ಹಿಂದಿನ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡು. ಹಿಂದಿನ ಅಂದ್ರೆ ಅವಳು ಬ್ಯೂಟಿ ಕ್ವೀನ್ ಆದ ಮುಂಚಿನದು. ನಿನಗೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಗೊತ್ತಾಗುತ್ತೆ.

ಸುರೇಶ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಆನ್ ಮಾಡಿ ನೆಟ್ ಹಚ್ಚಿದ. ಗೂಗಲ್‍ನಲ್ಲಿ `ಐಶ್ವರ್ಯ ರೈ ಇಮೇಜಸ್' ಟೈಪ್ ಮಾಡಿದ. ಪಟಪಟನೆ ಅವಳ ಚಿತ್ರಗಳು ಬಂದವು. ಗಣಿತಾನಂದರು ಬೆರಳು ಮಾಡಿ ತೋರಿಸಿದರು. ``ಇಲ್ಲಿ ನೋಡು ಐಶ್ವರ್ಯ ಮುಂಚಿನ ಚಿತ್ರ. ಇದಕ್ಕೂ ಈಗಿನದಕ್ಕೂ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನೋಡು.

``ಗೊತ್ತಾಗಲಿಲ್ಲ ಸಾರ್

``ಅವಳ ಗಲ್ಲ ನೋಡು. ಇತ್ತೀಚಿನ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅದು

ಅಡ್ಡಗೆರೆ ಹಾಕಿದಂತಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಅವಳು ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ಸರ್ಜರಿ ಮಾಡಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದಾಳೆ.

``ಅದಕ್ಕೂ ಗಣಿತಕ್ಕೂ ಏನು ಸಂಬಂಧ ಸಾರ್?

``ಇದೆಯಪ್ಪ. ಗೋಲ್ಡನ್ ರೆಕ್ಟಾಂಗಲ್ ಎನ್ನುವುದಿದೆ. ಪಾಶ್ಚಾತ್ಯರಲ್ಲಿ ಸುಂದರವಾಗಿ ಕಾಣುವುದೆಲ್ಲವೂ ಈ ಗೋಲ್ಡನ್ ರೆಕ್ಟಾಂಗಲ್‍ನಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಬಹುದು. ಪಾರ್ಥಿನಾನ್ ದೇವಾಲಯ, ನಮ್ಮ ವಿಧಾನಸೌಧದ ಮುಂಭಾಗ, ಸೂರ್ಯಕಾಂತಿ ಹೂವು ಇವೆಲ್ಲವೂ ಗೋಲ್ಡನ್ ರೆಕ್ಟಾಂಗಲ್ ಬಳಸಿದ ವಿನ್ಯಾಸಗಳೇ.

``ಇದ್ಯಾವ ರೆಕ್ಟಾಂಗಲ್ ಸಾರ್?

``ಒಂದು ಚೌಕ ತೆಗೆದುಕೋ. ಅದಕ್ಕೆ ಕರ್ಣ ಹಾಕು. ಚೌಕದ ತಳವನ್ನು ಕರ್ಣದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎಳೆ. ಇದರ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಲಂಬಗೆರೆ ಹಾಕಿ ಒಂದು ಆಯತ ಮಾಡಿದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಗೋಲ್ಡನ್ ರೆಕ್ಟಾಂಗಲ್ ಎನ್ನುವರು.

ಗಣಿತಾನಂದರು `ಉoಟಜeಟಿ ಖeಛಿಣಚಿಟಿgಟe. ಃoಟಟಥಿತಿooಜ Sಣಚಿಡಿs' ಎಂದು ಗೂಗಲ್‍ನಲ್ಲಿ ಟೈಪ್ ಮಾಡಿದರು. ಅನೇಕ ಚಿತ್ರಗಳು ಮೂಡಿದವು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಮಂದಿ ತಾರೆಯರು ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಕ್ ಸರ್ಜರಿಗೆ ಮೊದಲು ಮತ್ತು ಅನಂತರದ ಚಿತ್ರಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೇ ಇದ್ದವು.

``ಇವರೆಲ್ಲ ಗೋಲ್ಡನ್ ರೆಕ್ಟಾಂಗಲ್‍ನಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಮುಖ ಹುದುಗಿಸಿಕೊಂಡು ಸುಂದರವಾಗಿ ಕಾಣಲು ಹುದುಗಿಸಿ

ಕೊಂಡು ಸುಂದರವಾಗಿ ಕಾಣಲು ಸರ್ಜರಿ ಮಾಡಿಸಿ ಕೊಂಡವರೇ ಎಂದರು ಗಣಿತಾನಂದರು.

``ಸಾರ್ ಇವರದ್ದು ಹಾಗಾದರೆ ನ್ಯಾಚುರಲ್ ಬ್ಯೂಟಿ ಅಲ್ಲವೇ ಅಲ್ಲ ಎಂದ ಸುರೇಶ.

``ಹಾಗೆ ಯಾಕೆ ಯೋಚನೆ ಮಾಡಬೇಕು? ಚೌಕ, ಆಯತ, ಈ ಗಣಿತವನ್ನು ತಾರೆಯರು ಬಳಸಿಕೊಂಡ ರೀತಿ ಆಶ್ಚರ್ಯವಲ್ಲವೆ?

``ಸಾರ್ ಇವತ್ತು ಎಲ್ಲೆಲ್ಲೂ ಗಣಿತವಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದಿರಿ ಎಂದು ತೆಪ್ಪನೆ ಕುಳಿತ ಸುರೇಶ.

ಒಂದಿಷ್ಟು ಖುಷಿಗಾಗಿ

ಖಿhe ಉeomeಣಡಿಥಿ ಕಿuiz

1. Whಚಿಣ ಜiಜ ಇuಛಿಟiಜ ಠಿಟಚಿಥಿ iಟಿ ಣhe ಔಡಿಛಿhesಣಡಿಚಿ?

ಆರ್ಕೆಸ್ಟ್ರಾದಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಏನನ್ನು ನುಡಿಸುತ್ತಾನೆ / ವಾಪನ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ

2. ಊoತಿ ಜiಜ ಇuಛಿಟiಜ ಚಿಡಿgue?

ಯೂಕ್ಲಿಡ್‍ನು ಹೇಗೆ ವಾದವನ್ನು ಮಂಡಿಸುತ್ತಾನೆ?

3. Whಥಿ ತಿಚಿs ಇuಛಿಟiಜ sಚಿಜ?

ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಏಕೆ ವ್ಯಸನಿ / ಚಿಂತಾಕ್ರಾಂತನಾಗಿದ್ದನು?

4. Whಚಿಣ ಜiಜ ಇuಛಿಟiಜ ಡಿuಟಿ ಚಿತಿಚಿಥಿ ಜಿಡಿom?

ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಯಾವುದರಿಂದ ಪಾರಾಗಲು ಯತ್ನಿಸಿದನು?

5. Wiಣh ತಿhom ಜiಜ ಇuಛಿಟiಜ ಜಿಚಿಟಟ iಟಿ ಟove?

ಯೂಕ್ಲಿಡ್‍ನು ಯಾರ ಪ್ರೇಮದಲ್ಲಿ ಸಿಲುಕಿದನು?

6. Whಥಿ ಜiಜಟಿ'ಣ ಇuಛಿಟiಜ mಚಿಡಿಡಿಥಿ heಡಿ?

ಆಕೆಯನ್ನು (ಪ್ರೇಯಸಿಯನ್ನು) ಯೂಕ್ಲಿಡ್‍ನು ಏಕೆ ವಿವಾಹವಾಗಲು ಆಗಲಿಲ್ಲ?

7. Whಥಿ ತಿಚಿs ಇuಛಿಟiಜ oಟಜ-ಜಿಚಿshioಟಿeಜ?

ಯೂಕ್ಲಿಡ್‍ನು ಹಳೆ ಫ್ಯಾಷನ್‍ಗೆ ಏಕೆ ಜೋತುಕೊಂಡಿದ್ದನು? (ಯೂಕ್ಲಿಡ್‍ನು ಹಳೆ ತಲೆಮಾರಿನ ವೇಷಭೂಷಣಿಗ ಏಕೆ?)

8. Whಥಿ ಜiಜ ಣhe 179 ಜegಡಿee ಚಿಟಿgಟe ಜಿಚಿiಟ iಟಿ his exಚಿms?

179 ಡಿಗ್ರಿ ಕೋನವು ತನ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಏಕೆ ಅನುತ್ತೀರ್ಣನಾದನು?

9. Whಥಿ ಚಿಡಿe ಠಿಚಿಡಿಚಿಟಟeಟ ಟiಟಿes sಚಿಜ?

ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಏಕೆ ಚಿಂತ್ರಾಕ್ರಾಂತವಾಗಿದ್ದವು? (ಮ್ಲಾನವಾಗಿದ್ದವು?)

10. Whiಛಿh is ಣhe oಟಜesಣ shಚಿಠಿe iಟಿ ಣhe geomeಣಡಿಥಿ booಞ?

ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಹಳೆಯ ಆಕೃತಿಯಾವುದು?

(ಸಂಗ್ರಹ ಹಾಗೂ ಅನುವಾದ : ಎನ್‍ಕೆರಾವ್)

ಂಟಿsತಿeಡಿ / ಉತ್ತರಗಳು :

1. ಖಿhe ಖಿಡಿiಚಿಟಿgಟe

ತ್ರಿಭುಜ, (ಆರ್ಕೆಸ್ಟ್ರಾದಲ್ಲಿ ಡಿ ಆಕಾರದ ಒಂದು ವಾದ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ.)

2. Poiಟಿಣ bಥಿ ಠಿoiಟಿಣ

ಒಂದು ವಾದ ಮೇಲೆ ಬಿಂದು

(ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಜೋಡಣೆ ವಾದದಲ್ಲಿ ಅವಶ್ಯಕ.)

3. ಊe meಣ ಚಿ ಜeಚಿಜಟiಟಿe.

ಅವನು ಮೃತರೇಖೆಯನ್ನು ಸಂಧಿಸಿದನು, (ಅಂತಿಮ ಘಟ್ಟವನ್ನು ತಟ್ಟಿದನು)

(ಜeಚಿಜಟiಟಿe ಅಂತಿಮ ಗಡವು ಕೊನೆ ಕ್ಷಣ!)

4. ಂ ಗಿiಛಿious ಅiಡಿಛಿಟe

ವಿಷವೃತ್ತ - ವಿಷವರ್ತುಲ

(ಗೊಂದಲಗಳ ಗೂಡಿನಲ್ಲಿ ಬಂಧಿಯಾದವನು-ಹೊರಬರಲು ಹಾತೊರೆಯುತ್ತಾನೆ.)

5. Wiಣh ಚಿ-ಛಿuಣe ಚಿಟಿgಟe

ಚೆಲುವಿನ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ (ಚಿ-ಛಿuಣe ಲಘುಕೋನವನ್ನು ಎಂದು ವಿಭಜಿಸಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.)

6. ಊe ತಿಚಿs ತಿಚಿiಣiಟಿg ಜಿoಡಿ ಣhe ಡಿighಣ ಚಿಟಿgಟe!

ಅವನು ಸಮಕೋನಕ್ಕೆ ಕಾಯುತ್ತಿದ್ದನು.! (ಸೂಕ್ತಕಾಲ ಒದಗಲಿಲ್ಲವೇನೋ?)

7. ಃeಛಿಚಿuse mosಣ oಜಿ his ಜಿಡಿieಟಿಜs ತಿeಡಿe squಚಿಡಿes

ಏಕೆಂದರೆ ಅವನ ಅನೇಕ ಗೆಳೆಯರು ಚಚ್ಚೌಕಗಳಾಗಿದ್ದರು. (ನಿಗದಿತ ಆಕಾರ)

8. ಃeಛಿಚಿuse he ತಿಚಿs veಡಿಥಿ obಣuse

ಏಕೆಂದರೆ ಅವರು ತುಂಬಾ ವಿಶಾಲವಾಗಿದ್ದನು. (ತುಂಟಕೋರ)

9. ಖಿheಥಿ ತಿeಡಿe iಟಿ ಟove, buಣ ಛಿouಟಿಜಟಿ'ಣ ರಿusಣ meeಣ

ಏಕೆಂದರೆ ಅವರಲ್ಲಿ ಪ್ರೀತಿ ಇದ್ದರೂ ಭೇಟಿಯಾಗಲಿಲ್ಲ (ಸಮಾಂತರರೇಖೆಯ ಲಕ್ಷಣ)

10. ಖಿhe ಅiಡಿಛಿಟe - iಣs beeಟಿ ಚಿಡಿouಟಿಜ ಜಿoಡಿ ಚಿ ಟoಟಿg ಣime!

ವೃತ್ತ - ದೀರ್ಘಕಾಲಾವಿಂದಲೂ ಸುತ್ತುತ್ತನೇಕೆ. ಅದು ಹಾಗೇ ಸುತ್ತಲೂ ಇದೆ.

ಇಂತಹ ಸಂತೋಷಕಾರಕ ರೀತಿಯ ಕ್ವಿಜ್‍ಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಕನ್ನಡದಲ್ಲಿ ನೀವು ರಚಿಸಬಹುದಲ್ಲವೆ.

ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು

ಸೌಜನ್ಯ : ವೈ.ಎಸ್. ಸುಬ್ರಹ್ಮಣ್ಯ, ಮೈಸೂರು

ಹಾಗೂ ಕ.ರಾ.ವಿ.ಪ., ಬೆಂಗಳೂರು

ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಧ. ಒಂದು ನಿಸರ್ಗಬದ್ದ, ಇನ್ನೊಂದು ಮನುಷ್ಯಕೃತ. ಈ ಎರಡನೆಯ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಮನುಷ್ಯ ಮಾಡಿರುವುದಾದರೂ ಆ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಮೇಲೆ ತನ್ನ ನಿಬಂಧನೆಗಳನ್ನು ಆರೋಪಿಸಿ (ಹೊರಿಸಿ) ತನಗೆ ಅನುಕೂಲವಾಗುವಂಥ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಬೇಕು-ಬೇಡಗಳ ನಿರ್ಧಾರ ಅವನದೇ. ನಿಸರ್ಗ ಬದ್ಧ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕಾರದ ನಿಯಂತ್ರಣವಾಗಲೀ ಇರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಮನುಷ್ಯ ಕೃತ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು (ಶಾಸ್ತ್ರ, ರೀತಿ ನೀತಿಗಳು, ನಿಯಮಗಳು, ನಿಬಂಧನೆಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ) ತನ್ನ ಅನುಕೂಲಕ್ಕೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಏರ್ಪಡಿಸಿಕೊಂಡು, ಕೆಲವು ವೇಳೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿಕೊಂಡು ಮುನ್ನಡೆಯುತ್ತಾನೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಗಣಿತ ಕೂಡ ಹೊಸತೇನಲ್ಲ. ಗಣಿತದ ಹಲವಾರು ಪರಿಕರ್ಮಗಳು, ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮುಂತಾದವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನಿಸರ್ಗಬದ್ಧ ವಿದ್ಯಮಾನದ ಕುರುಹುಗಳೂ ಇಲ್ಲ ಎಂದೇ ಗಣಿತತರ್ಕ ಕೂಡ ಮನುಷ್ಯಕೃತವೇ, ಅನುಕೂಲ ಸಿಂಧುವೇ.

ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರವು ಕರಾರುವಾಕ್ಕಾದ ಶಾಸ್ತ್ರ, ಆದುದರಿಂದ ಈ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬರುವ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ನಿರೂಪಣೆ ನಿಖರವಾಗಿಯೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಯೂ ಇರಬೇಕೆಂದು ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ಈ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿಯೂ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು. ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ಹಲವು ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧವಾದವುಗಳಿಂದ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದಂತೆ ಮೇಲ್‍ನೋಟಕ್ಕೆ ಕಂಡುಬಂದರೂ, ಪುನಃ ವಿಮರ್ಶಿಸಿದಾಗ ವಾದದಲ್ಲಿ ದೋಷವಿರುವ ಕಾರಣ, ಪರಸ್ಪರ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿಯೂ ಅನರ್ಥಕವಾಗಿಯೂ, ಕಾಣುವ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಹೇತ್ವಾಭಾಸಗಳೆಂದು (ಈಚಿಟಟಚಿಛಿies) ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಕಡೆ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಬರುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಬೀಜರಾಶಿಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಇಂತಹ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಾಣಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು, ಬೀಜರಾಶಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಬಾರದು. ಇದರ ಕಾರಣ ತಿಳಿಯಬೇಕಾದರೆ ಭಾಗಾಹಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ತಿಳಿಯುವುದು ಅತ್ಯವಶ್ಯಕ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ :- 18ನ್ನು 6ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಎಂಬುದರ ಅರ್ಥವೇನು? 6ನ್ನು

ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ 18ಕ್ಕೆ ಸಮನಾವಾಗುವುದೋ, ಅ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು. 18ನ್ನು 6ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

6x3=18 ಟ 18ಜ6=3 ಅಥವಾ

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ b ಘಿ x = ಚಿ ಅಂದರೆ , ಈಗ ಅಥವಾ 18ಜ0 ಎಂಬುದರ ಅರ್ಥವೇನು?

0ಯನ್ನು ಯಾವುದರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ 18ಕ್ಕೆ ಸಮನಾವಾಗುವುದೋ, ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಎಂದರ್ಥ.

ಚಿ ಎಂಬುದು ಯಾವ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಿರಲಿ, ಅದರಿಂದ 0ನ್ನು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೂ ಗುಣಲಬ್ಧವು 0ಯೇ ಆಗುವುದು. 18 ಆಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದುದರಿಂದ 18ನ್ನು 0ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬ್ಧವಿಲ್ಲ. ಎಂದರೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚಿ ಎಂಬುದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಿರಲಿ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ, ಆದುದರಿಂದ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಬೀಜರಾಶಿಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಬಾರದು.

0 x 4 = 0; 0 x 6 = 0 (1)

ಟ 0 x 4 = 0 x 6 (2)

ಟ 4 = 6 (3)

ಇದು ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸ. 4 ಎಂಬುದು 6ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಬರಲು ಕಾರಣವೇನು? ಎರಡನೆಯ (2) ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ಕಡೆಯನ್ನು 0ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಸರಿಯಲ್ಲ. ಅಂದರೆ ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಎರಡು ಕಡೆಯನ್ನೂ ಭಾಗಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದರಿಂದ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಉಂಟಾಯಿತು. ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ ನೋಡೋಣ.

ಚಿ=3; b=2 ಮತ್ತು ಛಿ=5; ಆದಾಗ 3+2=5; ಅಂದರೆ ಚಿ+b=ಛಿ;

ಟ (ಚಿ+b) (ಚಿ+b) = (ಚಿ+b) ಛಿ

(ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ಕಡೆಗಳನ್ನೂ (ಚಿ+b) ಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದೆ)

ಟ ಚಿ2 + 2ಚಿb + b2 = ಚಿಛಿ + bಛಿ

ಟ ಚಿ2 + ಚಿb - ಚಿಛಿ = -ಚಿb - b2 + bಛಿ

ಟ ಚಿ(ಚಿ+b-ಛಿ) = -b(ಚಿ+b-ಛಿ)

ಈಗ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ಕಡೆಯನ್ನೂ (ಚಿ+b-ಛಿ) ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಚಿ = -b

ಟ 3 = -2 ಇದು ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸ (ಚಿ+b-ಛಿ)=0 ಏಕೆಂದರೆ ಚಿ+b=ಛಿ. (ಚಿ+b-ಛಿ) ಇಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ಕಡೆಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ನಾವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಂತಾಯಿತು.

ಈ ಉದಾಹರಣೆ ನೋಡಿ; ಒಬ್ಬರಿಗೆ ಐದನೆಯ ಹುಟ್ಟುಹಬ್ಬದ ದಿನ ಇಪ್ಪತ್ತು ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸು ತುಂಬಿತಂತೆ, ಇದು ಮೇಲ್ ನೋಟಕ್ಕೆ ವಿರೋಧಾಭಾಸವಾಗಿ ಕಂಡು ಬಂದರೂ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವ ವಿರೋಧವೂ ಇಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಅವನು ಫೆಬ್ರವರಿ ಇಪ್ಪತ್ತೊಂಬತ್ತನೆಯ ತಾರೀಖಿನ ದಿನ ಹುಟ್ಟಿದ್ದು. ಹುಟ್ಟಿದ ಹಬ್ಬಗಳನ್ನು ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಇಪ್ಪತ್ತೊಂಬತ್ತನೆಯ ತಾರೀಖಿನ ದಿನ ಹುಟ್ಟಿದ್ದು. ಹುಟ್ಟಿದ ಹಬ್ಬಗಳನ್ನು ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಆಯಾ ತಿಂಗಳ ಆಯಾ ತಾರೀಖಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಒಂದು ದೇಶದಲ್ಲಿ ಆಚರಿಸುತ್ತಾರೆ. (ಯುರೋಪು). ಪ್ರತಿ ವರ್ಷವೂ ಫೆಬ್ರವರಿಯಲ್ಲಿ 29 ದಿವಸಗಳು ಇರುವುದಿಲ್ಲ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿ ವರ್ಷವೂ ಫೆಬ್ರವರಿ ತಿಂಗಳನಲ್ಲಿ 28ನೇ ತಾರೀಖು ಕೊನೆಯದು. ಮುಂದಿನ ದಿನವೇ ಮಾರ್ಚಿ 1ನೇ ತಾರೀಖು. ನಾಲ್ಕು ವರ್ಷಗಳಿಗೊಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಫೆಬ್ರವರಿಯಲ್ಲಿ 29 ದಿನಗಳು ಬರುತ್ತವೆ. 29ರಂದು ಹುಟ್ಟಿದ ಹಬ್ಬ ಆಚರಿಸಿಕೊಂಡವನ ಎರಡನೆಯ ಹುಟ್ಟಿದ ಹಬ್ಬ ಬರುವುದೇ ಅವನು ಹುಟ್ಟಿದ ನಾಲ್ಕು ವರ್ಷಗಳಿಗೆ. ಪ್ರತಿ ನಾಲ್ಕು ವರ್ಷಗಳಿಗೊಮ್ಮೆ ಹುಟ್ಟಿದ ಹಬ್ಬವನ್ನು ಅವನು ಅಚರಿಸಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಐದನೇ ಹುಟ್ಟಿದ ಹಬ್ಬದ ದಿನ ಇಪ್ಪತ್ತು ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸು ಆಗಿರುವುದರಲ್ಲಿ ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನೂ ಕಂಡು ಬರುವುದಿಲ್ಲ.

ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಚಿತ್ರ-1ನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಗಮನಿಸಿ.

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಕ್ರವು ಂ ಯಿಂದ ಃ ಗೆ ಉರುಳುವಾಗ (ಚಲಿಸುವಾಗ) ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಂದು ಸುತ್ತು ಸುತ್ತಿದೆ, ಆದುದರಿಂದ ಂಃ ಯ ಉದ್ದ ಚಕ್ರದ ಪರಿಧಿಗೆ ಸಮ, ಚಕ್ರದ ಒಳ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲಿರುವ ಅ ಬಿಂದುವು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಯ ಮೇಲಿದೆ. ಚಕ್ರವು ಒಂದು ಸುತ್ತು ಸುತ್ತುವ ಕಾಲದಲ್ಲಿಯೇ ಅ ಬಿಂದು ಇರುವ ವೃತ್ತವು ಒಂದು ಸುತ್ತು ಸುತ್ತಿ, ಆ ಬಿಂದು ಆ ಎಂಬ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಬಂದಿದೆ. ಆದುದರಿಂದ ಅಆ ಯ ಉದ್ದ ಸಣ್ಣ ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಆದರೆ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಗಮನವಿಟ್ಟು ನೋಡಿದಾಗ ಅಆ=ಂಃ. ಅದುದರಿಂದ ಅ ಬಿಂದುವು ಇರುವ ಸಣ್ಣ ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಯು ಂ ಬಿಂದುವಿರುವ ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಗೆ ಸಮ ಎಂಬ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಒಪ್ಪಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಮರ್ಶೆ ಮಾಡಿ ನೋಡಿದಾಗ ಈ ವಿರೋಧ ಬಗೆಹರಿಯುತ್ತದೆ.

ಚಕ್ರವು ಂ ಯಿಂದ ಃ ಗೆ ಉರುಳುವಾಗ, ಅದರ ಒಳ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುವು ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತಲೂ ತಿರುಗುತ್ತಾ ಸಣ್ಣ ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಯ ಮೇಲೆ ಸಂಚರಿಸುವುದು ನಿಜ. ಜೊತೆಗೆ ಬಿಂದುವನ್ನು ಚಕ್ರವು ಂ ಯಿಂದ ಃ ಯ ಕಡೆಗೆ ಎಳೆಯುತ್ತಲೂ ಇದೆ, ಚಕ್ರದ ಕೇಂದ್ರ P ಯಿಂದ ಕಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಬಂದಿರುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ಈ ವಿಷಯ ನಮಗೆ ಇನ್ನೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಚಕ್ರವು ಉರುಳುತ್ತಾ ಂ ಯಿಂದ ಃ ಗೆ ಹೋಗುವಾಗ (P ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಎಳೆದುಕೊಂಡು ಹೋಗಿದೆ). ಇದರಿಂದ ನೋಟಕ್ಕೆ ಂಃ ಯ ದೂರ ಅಆ ದೂರಕ್ಕೆ ಸಮವೆಂದು ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ.

ಜಿನೊ (Zeಟಿo) ಎಂಬ ಹೆಸರಾಂತ ವ್ಯಕ್ತಿ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ ಮತ್ತೊಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವೆಂದರೆ ಅಕಿಲಿಸ್ ಮತ್ತು ಆಮೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದು.

ಅಕಿಲಿಸ್‍ಗೂ ಒಂದು ಅಮೆಗೂ ಒಂದು ಬಾರಿ ಓಟದ ಸ್ಪರ್ಧೆ ನಡೆಯಿತು, ಎನ್ನೋಣ. ಆಮೆಯ ಹತ್ತರಷ್ಟು ವೇಗ ಅಕಿಲಿಸ್‍ಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅಮೆಯು ಓಡುವ ವೇಗ ಕಡಿಮೆಯಾದ್ದರಿಂದ ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅಮೆಯದ್ದು ನೂರು ಗಜ ಮುಂದೆ ಇರುವಂತೆ (ಹಿಂದೆ ಇದ್ದ ಬ್ರಿಟಿಷ್ ಪದ್ಧತಿ) ಸ್ಪರ್ಧೆಯು ಆರಂಭವಾದಾಗ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಆಮೆಯು ಖಿ ಎಂಬ ಜಾಗದಲ್ಲಿಯೂ (ಸ್ಥಳ) ಅಕಿಲಿಸನು ಂ ಎಂಬ ಸ್ಥಳದಲ್ಲೂ ಇದ್ದರು.

ಸ್ಪರ್ಧೆಯು ಆರಂಭವಾಯಿತು, ಅಕಿಲಿಸ್‍ನು ಅಮೆಗಿಂತ ನೂರು ಗಜ ಹಿಂದೆ ಇರುವುದರಿಂದ ಈ ನೂರು ಗಜ ದೂರದ ಮೂಲಕ ಅಕಿಲಿಸನು ಮುಂಚೆ ಓಡಬೇಕು, ಅಕಿಲಿಸನ ವೇಗ ಆಮೆಯ ವೇಗದ ಹತ್ತರಷ್ಟು ಅಥವಾ ಆಮೆಯ ವೇಗ ಅಕಿಲಿಸನ ವೇಗದ ಹತ್ತನೆಯ ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮ. ಎಂದರೆ ಒಂದು ಗೊತ್ತಾದ ಕಾಲದ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಅಕಿಲಿಸನು ಎಷ್ಟು ದೂರ ಹೋಗಿರುತ್ತಾನೋ ಅದರ ಹತ್ತನೆಯ ಒಂದು ಭಾಗದಷ್ಟು ದೂರ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಆಮೆಯು ಹೋಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಕಿಲಿಸನು ನೂರುಗಜ ಓಡುವ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಆಮೆಯು ಹತ್ತು ಗಜ ಮುಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಕಿಲಿಸನು ಈ ಹತ್ತು ಗಜ ಹೋಗುವುದರೊಳಗೆ ಆಮೆಯು 1 ಗಜ (ಒಂದು ಗಜ) ಮುಂದಿರುವುದು. ಅಕಿಲಿಸನು ಈ 1 ಗಜ (ಒಂದು ಗಜ) ಓಡುವುದರೊಳಗೆ ಆಮೆಯು ಗಜ ಮುಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಕಿಲಿಸನು ಈ ಗಜ ಓಡುವುದರೊಳಗೆ ಆಮೆಯು ಅಕಿಲಿಸನಿಗಿಂತ ಗಜ ಮುಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಅನಂತರ ಯಾವ ಕಾಲದಲ್ಲೇ ಆಗಲಿ ಆಮೆಯು ಅಕಿಲಿಸನಿಗಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪವಾದರೂ ಮುಂದೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದುದರಿಂದ ಆಮೆಯನ್ನು ಸೋಲಿಸಲು ಅಕಿಲಿಸನಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ಪರ್ಧೆಯಲ್ಲಿ ಆಮೆಯೇ ಗೆಲ್ಲುವುದು ಖಂಡಿತ.

ಇದು ಎಂತಹ ವಿರೋಧಾಭಾಸ? ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಇಂತಹ ಒಂದು ಓಟದ ಸ್ಪರ್ಧೆ ನಡೆದಿದ್ದೇ ಆದರೆ ಅಕಿಲಿಸನೇ ಗೆಲ್ಲುವುದು ಸ್ವತಃ ಸಿದ್ದ. ಆದರೆ ಜಿನೋ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿರುವ ವಾದದಲ್ಲಿ ಯಾವ ದೋಷವೂ ಕಾಣುವುದಿಲ್ಲ! ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಜಿನೋವಿನ ಕಾಲಕ್ಕೆ ಸರಿ ಎಂದುಕೊಂಡಿದ್ದಿರಬೇಕು. ಆದರೆ ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲಿಯ ತನಕ ಆಗಿರುವ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳು ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಷ್ಟು ಸಾಮಥ್ರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದಿವೆ.

ಅಕಿಲಿಸ್ ಅಥವಾ ಆಮೆಯು ಓಡುವ ದೂರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅನಂತ ಪದಗಳಿರುವ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿ

.............. ಅನಂತ ಪದಗಳವರೆಗೆ ಇದು ಒಂದು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿ.

ಇದರ ಮೊದಲನೆಯ ಪದ ಚಿ=100 ಈ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೂ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರುತ್ತದೆ.

ಟ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮಾಣ . ಇಂತಹ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮಾಣ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ. ಅನಂತ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ =

ಆಂದರೆ ಅಕಿಲಿಸ್ ಅಥವಾ ಆಮೆ ಇವು ಓಡುವ ದೂರಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಕೂಡಿದಾಗ ಗಜಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗುವುದು. ಅಕಿಲಿಸ್ ಮತ್ತು ಆಮೆ ಇವರುಗಳ ಓಟದ ಸ್ಪರ್ಧೆ ಅನಂತವಾದ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ನಡೆಯಲಿಲ್ಲ. ಮೊದಲು 100 ಗಜ ಓಡಿ ಅನಂತರ 10 ಗಜ, ಅನಂತರ 1, ಅನಂತರ ಗಜ ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ರೀತಿ ಹಂತ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಓಡಬೇಕೆಂದು ಅವರಿಗೆ ತಿಳಿಸಿರಲಿಲ್ಲ. ಓಡುವ ಸ್ಪರ್ಧೆ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿ ನಡೆಯಿತು.

ಗಜದ ಅನಂತ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ ಹಂತ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಓಟದ ಸ್ಪರ್ಧೆಯು ನಡೆದಂತೆ ಭಾವಿಸಿ ಆಭಾಸ ಮೂಡಿದ್ದರಿಂದ ವಿರೋಧ ಕಂಡಿತು.

ಅಕಿಲಿಸ್ ಮತ್ತು ಆಮೆ - ಇವರ ಓಟದ ಸ್ಪರ್ಧೆ ಒಂದು ನಿಯತವಾದ ಕಾಲದ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಮುಗಿದಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಅಕಿಲಿಸನು ಓಡುವ ದೂರ ಆಮೆಯು ಹೋಗುವ ದೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾದ್ದರಿಂದ ಅಕಿಲಿಸನು ಗೆಲ್ಲಲು ಅಡ್ಡಿ ಏನೂ ಇಲ್ಲ.

ಶಿಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ ಬಳಕೆ

ಈ ಬಗ್ಗೆ ಈಚಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಸ್ತಾಪವಿದೆ.

ಮಾದರಿಗಾಗಿ ಅಂತರ್ಜಾಲದಿಂದ ಜಾಲಾಡಿ ತೆಗೆದ ಕೆಲವು ಆಕರ್ಷಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿದೆ. ಕೆಲವು ತಮಾಷೆಯಾಗೂ ಇವೆ. ಕೆಲವು ಆಲೋಚನೆಗೂ ಈಡುಮಾಡುತ್ತವೆ. ಗಮನಿಸಿ.

ಖಿoಜಚಿಥಿ We ಐeಚಿಡಿಟಿ ಒಚಿಣhemಚಿಣiಛಿs

ಖಿhe goಚಿಟ oಜಿ ಣhis ಟessoಟಿ is soಟviಟಿg mಚಿಣhs ಠಿಡಿobಟems bಥಿ ಚಿಠಿಠಿಟಥಿiಟಿg ತಿhಚಿಣ ಥಿou ಟeಚಿಡಿಟಿeಜ ಚಿಣ sಛಿhooಟ. (Iಜಿ ಥಿou sಣiಟಟ ಡಿemembeಡಿ iಣ)

I give ಥಿou 3 ಜigiಣs ಚಿಟಿಜ ಚಿ ಡಿesuಟಣ ಚಿಟಿಜ ಥಿou musಣ ಠಿuಣ ಚಿಟಟ ಣhe sigಟಿs ಟಿeಛಿessಚಿಡಿಥಿ ಣo ಡಿesಣoಡಿe ಣhe equಚಿಟiಣಥಿ.

I give ಥಿou ಚಿಟಿ exಚಿmಠಿಟe. ಖಿhe ಡಿemಚಿiಟಿಜeಡಿ ಥಿou soಟve bಥಿ ಥಿouಡಿseಟಜಿ.

2 + 2 + 2 = 6

ಇಚಿsಥಿ! Isಟಿ'ಣ ಣhis? Iಣ is ಣhe sಚಿme ಜಿoಡಿ ಣhe ಡಿemಚಿiಟಿಜeಡಿ.

1 1 1 = 6

2 2 2 = 6

3 3 3 = 6

4 4 4 = 6

5 5 5 = 6

6 6 6 = 6

7 7 7 = 6

8 8 8 = 6

9 9 9 = 6

Whಚಿಣ, ಜiಜ ಥಿou soಟve some? .... ಓoಣ, ಓo.2 : iಣ ತಿಚಿs ಣhe exಚಿmಠಿಟe, ತಿhiಛಿh I shoತಿeಜ ಥಿou ಠಿಡಿeseಟಿಣಟಥಿ.

ಂಟಿoಣheಡಿ? ಂh.... ಓo.6. ಗಿeಡಿಥಿ ಜiಜಿಜಿiಛಿuಟಣ!!!

6 + 6 - 6 = 6

ಇIಓSಖಿಇIಓ!!!!!

ಂಟಿಜ ಣhe oಣheಡಿs? ಆo ಥಿou ತಿಚಿಟಿಣ ಚಿssisಣಚಿಟಿಛಿe?

ಂh, ಟಿoಣ, I ಜಿoಡಿgoಣ ಥಿou ಚಿಡಿe iಟಿಣeಟಟigeಟಿಣ.

I ಣhiಟಿಞ ಣhಚಿಣ ಥಿou soಟveಜ ಣhe 3ಣh, Peಡಿhಚಿಠಿs ಣhe 5ಣh. Wiಣh ಚಿ ಟiಣಣಟe ಛಿhಚಿಟಿಛಿe ಣhe 7ಣh.

3 x 3 - 3 = 6; 5 / 5 + 5 = 6; -7 / 7 + 7 = 6

Sಣiಟಟ ಟಿoಣ? ಔಞ. We ಚಿಡಿe heಡಿe ಜಿoಡಿ ಣhಚಿಣ! -(7/7) = -1. ಂಟಿಜ ಣhus 7 - 1 = 6

ಓoತಿ ಟeಣ ತಿe see ಣhose ತಿhiಛಿh ಚಿಡಿe ಚಿ ಟiಣಣಟe moಡಿe ಛಿomಠಿಟiಛಿಚಿಣeಜ.

ಖಿhe 4ಣh

ಖಿhe 9ಣh

ಖಿhe 8ಣh

ಓo ಉooಜ?

ಂhhh!!! ಖಿhಚಿಣ's ಚಿಟಿoಣheಡಿ ಣhiಟಿg!

ಔh ಣhis, I ಜಿiಟಿish ಣoಜಚಿಥಿ's ಛಿಟಚಿss

ಂh, ಟಿoಣ..... Iಣ's; ಣಡಿue..... Iಣ ಡಿemಚಿiಟಿs ಣo soಟve ಣhe ಜಿiಡಿsಣ oಟಿe.

1+1+1 = 3 g 3 x 2 x 1 = ಆuಟಿಛಿe's ಛಿಚಿಠಿ!

1 + 1 + 1 ! = 6

Weಟಟ I give ಥಿou ಚಿ ಣಡಿಚಿಛಿಞ, buಣ I musಣ ಚಿಛಿಞಟಿoತಿಟeಜge ಣhis oಟಿe is musಛಿuಟಚಿಡಿ.....

ಓo? Sಣiಟಟ ಟಿoಣ?

ಙou ಚಿಡಿe ಟಿoಣ giಜಿಣeಜ iಟಿ ಒಚಿಣhs, eh!!

ಈಂಅಖಿಔಖIಂಐ : ಖಿhe ಜಿಚಿಛಿಣoಡಿiಚಿಟ oಜಿ ಚಿ ಟಿumbeಡಿ is obಣಚಿiಟಿeಜ bಥಿ muಟಣiಠಿಟಥಿiಟಿg ಚಿಟಟ ಣhe ಜಿoಡಿmeಡಿs uಠಿ ಣo 1.

ಉooಜ, ಅoಟಿsiಜeಡಿiಟಿg ಥಿouಡಿ ಠಿeಡಿಜಿoಡಿmಚಿಟಿಛಿes, ಣhe ಟಿexಣ ಛಿouಡಿse ತಿiಟಟ ಣಡಿeಚಿಣ ಣhe ಚಿಡಿಣ oಜಿ ತಿಚಿಟಞiಟಿg ತಿhiಟe ಛಿheತಿiಟಿg ಛಿheತಿiಟಿg-gum......

ಏiಟಿಜಟಥಿ :

ಖಿಊಇ Pಖಔಈ.