ರಚನಾ ಗಣಿತ 9 ಚಿಂತನೆಗೆ ಮೀಟುಗೋಲು

ಚಿಂತನೆಗೆ ಮೀಟುಗೋಲು :

(ಒಂಬತ್ತನೆಯ ತರಗತಿಯ ವಿವಿಧ ಘಟಕಗಳ ಪ್ರಸ್ತಾಪ)

ಅಂಕಗಣಿತ

ಅಧ್ಯಾಯ-1 ಘಟಕ -2

ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಇದುವರೆಗಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿವಿಧ ಗಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಚಿರಪರಿಚಿತ ರಾಗಿರುತ್ತಾರೆ. ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಭ್ಯಸಿಸಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಈ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೇಳಿ ಪಡೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಮನದಟ್ಟು ಮಾಡಿಸಿ.

ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿವಿಧ ರೂಪಗಳನ್ನು ತಿಳಿಸಿ. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಕೆಲವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳದ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಿರುವ ಚಟುವಟಿಕೆ 1 ಮತ್ತು 2ನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಮಾಡಲು ಸೂಚಿಸಿ ಅದರಿಂದ ಕೆಲವು ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಂದಲೇ ಮಾಡಿಸಿ:

ಟ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು.

ಟ ಕೆಲವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಟ ಕೆಲವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ ಕೆಲವು ಅಂಕಗಳು ನಿಗದಿತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

ಮಾದರಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಒಂದು ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಹೇಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಮನನ ಮಾಡಿಕೊಡಿ.

ಇದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ ಪರಿಚಯಿಸಿ. ಈ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ನಂತರ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿ.

ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕಾದ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಟ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಲ್ಲವೂ ವಾಸ್ತುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಟ ಪ್ರತೀ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುತ್ತದೆ ಹಾಗೂ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವೂ ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಟ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂಬುದಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು.

ಟ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಚಿ, b ಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು b ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ

ಟ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದಶಮಾಂಶ ರೂಪವು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಅಥವಾ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ: ಭಾಗಲಬ್ಧ ರೂಪ: , , ಇವುಗಳ ಕ್ರಮವಾದ ದಶಮಾಂಶ ರೂಪ: 3, 0.375, 0.428571428571.......

ಟ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲದ ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಟ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದಶಮಾಂಶ ರೂಪವು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ : ಠಿ = 3.141592654...... , , , ಇವುಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಟ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ : ಒಂದು ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆ ಆದರೆ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ.

ಗಮನಿಸಿ : ಎಲ್ಲಾ ಪುನರಾವರ್ತಕ ಹಾಗೂ ಪುನರಾವರ್ತಕವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೇ,

ಉದಾರಣೆಗೆ ಠಿ, , ಇತ್ಯಾದಿ.

ಗುಣಲಕ್ಷಣ

ಸಂಕಲನ

ಗುಣಾಕಾರ

ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಚಿ+b=b+ಚಿ ಚಿ.b = b.ಚಿ

ಸಹವರ್ತನೀಯ (ಚಿ+b)+ಛಿ=ಚಿ+(b+ಛಿ) (ಚಿ.b) . ಛಿ = ಚಿ . (b.ಛಿ)

ಅನನ್ಯತಾಂಶ ಚಿ + 0 = ಚಿ = 0 + ಚಿ ಚಿ.1 = ಚಿ = 1.ಚಿ

ವಿಲೋಮಾಂಶ ಚಿ + (-ಚಿ) = 0 = (-ಚಿ)+ಚಿ ಚಿ ಸೊನ್ನೆಯಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ

ವಿಭಾಜಕ ನಿಯಮ ಚಿ(b+ಛಿ) = ಚಿb + ಚಿಛಿ = (b+ಛಿ)ಚಿ = bಚಿ + ಛಿಚಿ

ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಪಟ್ಟಿಮಾಡಬಹುದು.

ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವಾಗ ಈ ಅಂಶವನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ :

ದಶಮಾಂಶವನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವಾಗ ದಶಮಾಂಶದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗುವಂತೆ 10 ಮತ್ತು 10ರ ಗುಣಕಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 01. 0.99999.......ನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ.

0.999999......ನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವಾಗ ಇದನ್ನು 10 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಏಕೆಂದರೆ ಇದರಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿರುವ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆ 9 ಮಾತ್ರ.

ಡಿ = 0.99999............ಆಗಿರಲಿ.

ಆಗ, 10ಡಿ = 0.99999......x 10 = 9.999999.............ಆಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ 10ಡಿ - ಡಿ = 9 9ಡಿ = 9 ಟ ಡಿ =1

ಆದ್ದರಿಂದ, 0.99999.... = 1

ಉದಾಹರಣೆ 02. 2.00121212.......ನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ.

ಇಲ್ಲಿ 12 ಎರಡು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳ ನಂತರ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹಾಗಾಗಿ ಅದನ್ನು 10000 ದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

ಡಿ = 0. 2.001212...........ಆಗಿರಲಿ.

ಆಗ, 100ಡಿ = 2.001212.....x 100 = 200.1212............ಆಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ 10000 ಡಿ = 20012.1212......

10000ಡಿ - 100ಡಿ = 20012.1212......

10000ಡಿ - 100ಡಿ = 20012.1212.... - 200.1212.....

ಆದ್ದರಿಂದ 2.00121212........ =

ಇದೇ ರೀತಿ ಮುಂದುವರೆದು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ.

ಅಧ್ಯಾಯ-2 ಘಟಕ -01

ಬ್ಯಾಂಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ಬ್ಯಾಂಕ್ ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಂಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಗ್ಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿರುತ್ತಾರೆ.

ಟ ಈ ಘಟಕವನ್ನು ಮುಂದಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳುವುದರ ಮೂಲಕ ಪರಿಚಯಿಸಿ:

ಟ ಬ್ಯಾಂಕ್ ಎಂದರೇನು?

ಟ ಬ್ಯಾಂಕ್‍ಗಳು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ವಿವಿಧ ಕರ್ತವ್ಯಗಳು ಯಾವುವು?

ಟ ಬ್ಯಾಂಕ್‍ಗಳಿಂದ ವಿವಿಧ ವರ್ಗದ ಜನರಿಗೆ ಆಗುವ ಪ್ರಯೋಜನಗಳೇನು?

ಟ ನಿಮ್ಮ ವಾಸಸ್ಥಳದಲ್ಲಿರುವ ಕೆಲವು ಬ್ಯಾಂಕ್‍ಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ.

ಟ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಹುತೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಚಿರಪರಿಚಿತ ವಿಷಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಘಟಕದಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅನುಗಮನ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು.

ಟ ಪಠ್ಯ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿರುವ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿ, ಅದರಿಂದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಗ್ರಹಿಸಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿಯಪಡಿಸಿ.

ವಿಚಿತ್ರವಾದ ಸತ್ಯ : ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದ ಧಾರ್ಮಿಕ ಜನರು ಬ್ಯಾಂಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಒಂದು `ಪಾಪ' ಎಂಬುದಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದರು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವರ ಪ್ರಕಾರ ಅದು ಕಷ್ಟಪಡದೆ ಹಣವನ್ನು ಸಂಪಾದಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿತ್ತು.

ಈ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮುಂದಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ನೀಡಬಹುದು :

1. ವಿವಿಧ ಬ್ಯಾಂಕ್‍ಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿತಾಯ ಖಾತೆಯನ್ನು ಆರಂಭಿಸಲು ಠೇವಣಿಯಿರಿಸಬೇಕಾದ ಆರಂಭಿಕ ಮೊತ್ತ.

2. ಉಳಿತಾಯ ಖಾತೆಯನ್ನು ಆರಂಭಿಸುವ ಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಬೇಕಾಗಿರುವ ದಾಖಲೆಗಳು.

3. ಖಾತೆ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸುವ ವಿವಿಧ ಅಂಶಗಳು ಹಾಗೂ ಅವುಗಳ ಅರ್ಥ.

4. ವಿವಿಧ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುವ ಚಲನ್‍ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನನು ಭರ್ತಿಮಾಡುವ ಕ್ರಮ.

5. ಬ್ಯಾಂಕ್ ಡ್ರಾಫ್ಟ್‍ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಕ್ರಮ.

6. ಬ್ಯಾಂಕ್‍ಗೆ ಹಣವನ್ನು ಠೇವಣಿಯಿರಿಸುವ ಮತ್ತು ಠೇವಣಿಯನ್ನು ಹಿಂಪಡೆಯುವಾಗ ಅನುಸರಿಸಬೇಕಾದ ವಿಧಾನಗಳು.

ಬಡ್ಡಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ - ದಿನವಹಿ ಉತ್ಪನ್ನ ಆಧಾರಿತ ಹೊಸ ಕ್ರಮ

ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳು :

ಟ ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ದಿನವಹಿ ಉತ್ಪನ್ನ ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಲಾಗುವುದು ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ದಿನ ಅಲ್ಲ.

ಟ ಒಂದು ತಿಂಗಳಿಗೆ ದಿನದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು ಅವಧಿಯನ್ನು ಒಂದು ದಿನವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ ಬಡ್ಡಿ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಲಾಗುವುದು.

ಟ ಉಳಿತಾಯ ಖಾತೆಯಲ್ಲಿನ ಹಣಕ್ಕೆ ಅರ್ಧವಾರ್ಷಿಕವಾಗಿ ಬಡ್ಡಿ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಿ ಖಾತೆದಾರರ ಲೆಕ್ಕಕ್ಕೆ ಜಮಾ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ : ಅಭ್ಯಾಸ 2.1.6.ರಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆ 2 ನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಉಳಿತಾಯ ಖಾತೆ ಪುಸ್ತಕವೊಂದರಲ್ಲಿನ ವಿವರಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಮಾಸಿಕ ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು 4% ದರದಲ್ಲಿ ದಿನವಹಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ದಿನಾಂಕ

ವಿವರಗಳು

ಚೆಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ

ಖರ್ಚು

ಜಮಾ

ಉಳಿಕೆ

-

-

-

-

-

-

` 2500

` 800

-

01-05-2010 ಹಿಂದಿನ ಉಳಿತಾಯ

04-05-2010 ನಗದು ಮೂಲಕ

12-05-2010 ಗೀತಾ ಅವರಿಗೆ

21-05-2010 ಸ್ವಂತಕ್ಕಾಗಿ

30-05-2010 ಚೆಕ್ ಮೂಲಕ

843655

843656

560090

-

` 4600

` 7500

` 2842

` 7442

` 4942

` 4142

` 11642

ಪರಿಹಾರ : ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ತಿಂಗಳಿಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಿವರಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮಾಸಿಕ ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ದಿನವಹಿ ಖಾತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಹಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಹೀಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಿದಾಗ,

` 2842 x 3 ಜಚಿಥಿs = ` 8526 (ಏಕೆಂದರೆ 1ನೇ ತಾರೀಖಿನಿಂದ 3ನೇ ತಾರೀಖಿನವರೆಗೆ ` 2842 ಖಾತೆಯಲ್ಲಿದೆ)

` 7442 x 8 ದಿನಗಳು = ` 59536

` 4942 x 9 ದಿನಗಳು = ` 44478

` 4142 x 9 ದಿನಗಳು = ` 37278

` 11642 x 2 ದಿನಗಳು = ` 23284

ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿದಿನದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು, ಕೂಡಿದಾಗ ಮಾಸಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ

ಇಲ್ಲಿ ಮಾಸಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ ` 173102, ಥಿeಚಿಡಿ, ಖ = 4%

ಅಧ್ಯಾಯ-2 ಘಟಕ -02

ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿ

ಹಣಕಾಸು ಸಂಸ್ಥೆಗಳು ಸಾಲವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ಅಥವಾ ಠೇವಣಿಯನ್ನು ಇರಿಸಿಕೊಂಡಾಗ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಗೆ ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಮುಂದಿನ ಅವಧಿಗೆ ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಬೇಕಾದಾಗ ಮೂಲ ಅಸಲು ಮತ್ತು ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಅವಧಿಗೂ ಅಸಲು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಅದರಂತೆ ಬಡ್ಡಿಯೂ ವೃದ್ದಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗೆ ಒಂದು ಪೀಠಿಕೆಯಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ. ಯಾವ ಯಾವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಆಲೋಚಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ.

ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸರಳಬಡ್ಡಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿರುತ್ತಾರೆ. ಈಗ ಸರಳಬಡ್ಡಿ ಮತ್ತು ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಂದ ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿಸಿ. ಸರಳಬಡ್ಡಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದಂತೆ ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿಯಲ್ಲಾಗುವ ಅನುಕೂಲತೆಗಳನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಂದ ಹೇಳಿಸಿ.

ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳು :

01. ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಮಾಡುವಾಗ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು, ಅದರಿಂದ ಅಸಲನ್ನು ಕಳೆದು ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

02. ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಯೂ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

03. ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿಯ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಟಿ ಪೂರ್ಣ ವರ್ಷವನ್ನೂ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

04. ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಅರ್ಧವಾರ್ಷಿಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಿದಾಗ, ಬಡ್ಡಿಯ ದರವು ವಾರ್ಷಿಕದ ಬಡ್ಡಿ ದರದ ಅರ್ಧದಷ್ಟಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗೂ ಪರಿವರ್ತನಾ ಅವಧಿಯೂ ಎರಡು ಇರುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಟಿ = 2ಟಿ ಆಗುತ್ತದೆ.

05. ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ತ್ರÉೈಮಾಸಿಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಿದಾಗ, ಬಡ್ಡಿಯ ದರವು ಬಡ್ಡಿದದ ಕಾಲುಭಾಗದಷ್ಟಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗೂ ಪರಿವರ್ತನಾ ಅವಧಿಯು ನಾಲ್ಕು ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಟಿ = 4ಟಿ ಆಗುತ್ತದೆ.

06. ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ವಿವಿಧ ದರ ಖ1 ಮತ್ತು ಖ2 ಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಾನುಗತ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಿದಾಗ.

ಎರಡು ಕ್ರಮಾನುಗತ ವರ್ಷಗಳಿಗೆ ಬಡ್ಡಿಯ ದರವು ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಮೊತ್ತವನ್ನು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಅಸಲು ಹಾಗೂ ಗಳಿಸಿದ ಬಡ್ಡಿಯ ಮರುಹೂಡಿಕೆ ಎಂದೂ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ

ಮೇಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ :

ಉದಾಹರಣೆ 01. ಯಾವ ಅಸಲಿನ ಮೇಲೆ, 4% ಬಡ್ಡಿಯ ದರದಲ್ಲಿ 2 ವರ್ಷಗಳಿಗೆ ಸರಳ ಬಡ್ಡಿ ಮತ್ತು ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಆಗುತ್ತದೆ?

ಪರಿಹಾರ : ಇಲ್ಲಿ ಅಸಲನ್ನು ` 100 ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಮೊದಲು ಸರಳಬಡ್ಡಿ ಮತ್ತು ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಪರಿಹಾರ : ಅಸಲು P = ` 100, ಖ = 4% ಮತ್ತು ಖಿ=2 ವರ್ಷ ಆಗಿರಲಿ ಆಗ,

` 8

ಮತ್ತು ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿಯ =

= 100 (1.0816 - 1)2 = ` 8.16

ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿ ಮತ್ತು ಸರಳಬಡ್ಡಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ = ` 8.16 - ` 8 = ` 0.16

ವ್ಯತ್ಯಾಸ = ` 0.16 ಇದ್ದಾಗ, ಅಸಲು ` 100

ವ್ಯತ್ಯಾಸ = ` 100 ಇದ್ದಾಗ, ಅಸಲು = ` 62,500

ಮೌಲ್ಯೀಕರಣ ಮತ್ತು ಸವಕಳಿ

ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳ ಬೆಲೆ ಕಾಲ ಕಳೆದಂತೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳ ಬೆಲೆ ಕಾಲಕ್ರಮೇಣ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದರ ಬಗ್ಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಕಲ್ಪನೆಯಿರುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯೀಕರಣ ಮತ್ತು ಸವಕಳಿಗೆ ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಿರಿ.

ಮೌಲ್ಯೀಕರಣ ಮತ್ತು ಸವಕಳಿಯ ಬಗೆಗಿನ ತಿಳಿವಳಿಕೆಯ ದೈನಂದಿನ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಚರ್ಚಿಸಿ

ವಾಹನಗಳ ಬೆಲೆ ದಿನ ಕಳೆದಂತೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜಿಸಿ, ಕೆಲವು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಅದರ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟಾಗಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಕಟ್ಟಡ ಕಟ್ಟಲು ಯೋಗ್ಯವಾದ ಸೈಟ್‍ನ ಬೆಲೆ ಕಾಲಕ್ರಮೇಣ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಇವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಅಂದಾಜಿಸುವುದು? ಅದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಗಣಿತೀಯವಾದ ಕ್ರಮವಿದೆಯೆ? ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರಶ್ನಿಸಿ, ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಇವುಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡಿ ಆನಂತರ ಮೌಲ್ಯೀಕರಣ ಮತ್ತು ಸವಕಳಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡಿ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ತಿಳಿಸಿಕೊಡಿ.

ರೇಖಾಗಣಿತ

ಅಧ್ಯಾಯ -4 ಘಟಕ-1 - ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು

I. ಏನನ್ನು ಕಲಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ?

v ವಿವಿಧ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು.

v ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಅರ್ಥ.

v ನಿಯತ ಮತ್ತು ಅನಿಯತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸುವುದು.

v ಅಂತರ್ ವಕ್ರ ಹಾಗೂ ಬಹಿರ್‍ವಕ್ರ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಹಾಗೂ ಅವುಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳು.

v ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲ ಒಳಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ.

v ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲ ಹೊರಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ.

II. ಏಕೆ ಕಲಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ?

ಚಿಂತನೆ ಮಾಡಿ.

III. ಕಲಿಕೆಗೆ ಅನುಕೂಲಿಸುವ ಬಗೆ ಹೇಗೆ?

ಘಟಕದ ಆರಂಭಕ್ಕೆ ಪೂರ್ವಸಿದ್ಧತೆ :

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ತನ್ನ ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದಾದ ರೇಖಾಗಣಿತೀಯ ಆಕೃತಿಗಳ ಮಾದರಿಗಳು ಅಥವಾ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವುದು.

ಉದಾ :- ಪುಟ್‍ಬಾಲ್ ಅಥವಾ ವಾಲಿಬಾಲ್ ಮೇಲಿರುವ ಆಕೃತಿಗಳು

ಜೇಡರ ಬಲೆಯ ಜಾಲ

ಜೇನುಗೂಡಿನ ಆಕಾರ

ಬೆಂಡೇಕಾಯಿಯ ಅಡ್ಡ ಸೀಳಿಕೆಗಳು

ಕಬ್ಬಿಣದ ಸರಳುಗಳಿಂದಾದ ಕಿಟಕಿಯ ಜಾಲಾಕೃತಿಗಳು

ಕಡ್ಡಿಗಳಿಂದ ರಚಿಸಬಹುದಾದ ಆಕೃತಿಗಳು

ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಹಾಳೆಯನ್ನು ವಿವಿಧ ರೇಖಾಕೃತಿಗಳ ಆಕಾರದಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸುವುದು ಹಾಗೂ ಸಂಗ್ರಹಿಸುವುದು.

Iಗಿ. ಕಲಿಕೆಗೆ ಅನುಕೂಲಿಸುವ ಕ್ರಮ

ರಚನಾ ವಾದದನ್ವಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ತನ್ನ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ತಾನೇ ಕಟ್ಟಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದುದರಿಂದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಚಟುವಟಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ತನ್ನ ಕಲಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿ ತತ್ವ / ನಿಯಮ / ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ರೂಪಿಸುವಲ್ಲಿ ಶಿಕ್ಷಕರು ಮಾರ್ಗದರ್ಶಕರಾಗಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

1) ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು

ಬೇಕಾಗುವ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳು : (1) ವಿವಿಧ ಅಳತೆಯ ಕಡ್ಡಿಗಳು (ತೆಂಗಿನ ಗರಿಕಡ್ಡಿ, ಹಂಚಿಕಡ್ಡಿ, ಬೆಂಕಿ ಕಡ್ಡಿ) (2) ಸೈಕಲ್ ವಾಲ್ ಟ್ಯೂಬ್‍ನ ತುಂಡುಗಳು.

ವಿಧಾನ : ಕಡ್ಡಿಗೆ ವಾಲ್‍ಟ್ಯೂಬ್ ತುಂಡನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು. ತ್ರಿಭುಜ ರಚನೆಗೆ ಮೂರು ಕಡ್ಡಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಎರಡು ಕಡ್ಡಿಗಳ ತುದಿಯನ್ನು ಒಂದು ವಾಲ್‍ಟ್ಯೂಬ್‍ಗೆ ಮೊದಲು ಸೇರಿಸಬೇಕು. ಮತ್ತೊಂದು ಕಡ್ಡಿಯ ಎರಡೂ ತುದಿಗಳಿಗೆ ವಾಲ್‍ಟ್ಯೂಬ್ ತುಂಡುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು. ಈ ಕಡ್ಡಿಯ ವಾಲ್‍ಟ್ಯೂಬ್‍ಗಳಿಗೆ ಮೊದಲು ಜೋಡಿಸಿದ ಕಡ್ಡಿಗಳ ಉಳಿದ ತುದಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು. ಮೂರು ಕಡ್ಡಿಗಳಿಂದ ರಚಿತವಾದ ಈ ಆಕೃತಿಯು ತ್ರಿಭುಜವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಇದೇ ಕ್ರಮದಿಂದ ಸೂಕ್ತ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ, ಪಂಚಭುಜ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.

ಕಡ್ಡಿಗಳನ್ನು ಬಾಹುಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸಿ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸಲು ಸಹಕರಿಸಿ.

ಆಕೃತಿ ಕಡ್ಡಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಕೃತಿಯ ಹೆಸರು

3 ತ್ರಿಭುಜ

4 ಚತುರ್ಭುಜ

5 ಪಂಚಭುಜ

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಇವುಗಳನ್ನೂ `ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ'ಗಳೆಂದು ಕರೆಯುವರು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

v ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗೆ ತಮ್ಮದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ನೀಡಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪೆÇ್ರೀತ್ಸಾಹಿಸಿ.

v ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿಸಿ (ಬಾಹುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಕೋನ)

2) ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ವಿಧಗಳು :

ಸ್ಕೇಲ್ ಮತ್ತು ಪೆನ್ಸಿಲುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಮುಂದೆ ಚಿತ್ರಿಸಿರುವಂತಹ ಅನೇಕ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ತಿಳಿಸಿ. ಹಾಗೂ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಹುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಧರಿಸಿ ಹೆಸರಿಸಲಿ.

1) ಷಡ್ಬುಜಾಕೃತಿ 2) ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿ 3) ಅಷ್ಟ ಭುಜಾಕೃತಿ

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ಗೂಡಿಸಿ ಈ ಮುಂದಿನಂತೆ ಚಟುವಟಿಕೆಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ

1) 2)

ಈ ಎರಡೂ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿನ ಸಾಮ್ಯತೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲು ತಿಳಿಸಿ.

ಈ ಎರಡೂ ಬಗೆಯ ಆಕೃತಿಗಳು ಒಂದೇ ಹೆಸರಿನವುಗಳಾದರೂ ಅವುಗಳ ಲಕ್ಷಣ ಬೇರೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳಿಗೆ 1) ಬಹಿರ್ ವಕ್ರ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಹಾಗೂ 2) ಅಂತರ್ ವಕ್ರ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟ ಪಡಿಸಿ.

3) ನಿಯತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಹಾಗೂ ಅನಿಯತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ರಚಿಸಿದ ಆಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಮ ಅಳತೆಯ ಬಾಹುಗಳಿರುವ ಹಾಗೂ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಯ ಬಾಹುಗಳಿರುವ ಆಕೃತಿಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲು ತಿಳಿಸಿ. ಅವುಗಳಿಗೆ ನಿಯತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಹಾಗೂ ಅನಿಯತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿ ಸ್ಪಷ್ಟ ಪಡಿಸಿ.

4) ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಚಟುವಟಿಕೆ

ಬೇಕಾಗುವ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳು 1) ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ರಚನೆಗಳು. 2) ಕೋನಮಾಪಕ

ವಿಧಾನ : ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿ ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಿರಿ. ಕೋನಮಾಪಕದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಒಳಕೋನಗಳನ್ನು ಅಳೆದು, ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಕಂಡುಹಿಡಿದು ಮುಂದೆ ತಿಳಿಸಿರುವ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಿ.

ಪ್ರತಿ ಆಕೃತಿಯ ಒಂದು ಶೃಂಗದಿಂದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಕರ್ಣ ಎಳೆಯಲಿ. ಇದರಿಂದ ಆಕೃತಿಯ ತ್ರಿಭುಜಗಳ ರೂಪ ಪಡೆಯುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಲಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಒಟ್ಟು ತ್ರಿಭುಜಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಆಯಾ ಆಕೃತಿಯ ಕಾಲಂನಲ್ಲಿ ಭರ್ತಿ ಮಾಡಲಿ. ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜದ ಒಟ್ಟು ಒಳಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 1800 ಎಂಬುದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಈಗ ಮೂಡಿದ ಒಟ್ಟು ತ್ರಿಭುಜಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ಆಯಾ ಆಕೃತಿಯ ಒಳಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೂ ಇರುವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯೇ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಕರಿಸಿ.

ಆಕೃತಿ

ಬಾಹುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

ಒಳ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ

ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಡಿದ ತ್ರಿಭುಜಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

ಮೂಡಿದ ತ್ರಿಭುಜಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹಾಗೂ ಒಳಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸಂಬಂಧ

1. ತ್ರಿಭುಜ ಟಿ = 3 1800 1 1 x 1800 = 1800

2. ಚತುರ್ಭುಜ ಟಿ = 4 3600 2 2 x 1800 = 3600

3. ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿ ಟಿ = 5 5400 3 3 x 1800 = 5400

4. ಷಡ್ಬುಜಾಕೃತಿ ಟಿ = 6 7200 4 4 x 1800 = 7200

5. ಸಪ್ತಭುಜಾಕೃತಿ ಟಿ = 7 9000 5 5 x 1800 = 9000

6. ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿ ಟಿ = 8 10800 6 6 x 1800 = 10800

ಆಕೃತಿಯ ಬಾಹುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಅದರಲ್ಲಿ ಮೂಡಿದ ತ್ರಿಭುಜಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಪ್ರತಿಬಾರಿ ಕೇವಲ 2 ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಲಿ ಇದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಒಳಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಬಾಹುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೇ ರಚಿಸಲು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿ.

ಟಿ ಬಾಹುಗಳುಳ್ಳ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಒಳಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ

= (ಟಿ - 2) 1800

ಇದರಿಂದ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಅಧ್ಯಾಯ 4 ಘಟಕ 1 ರ 4.3 ರಲ್ಲಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಉಕ್ತಿ 1 ಮತ್ತು ಉಕ್ತಿ 2 ನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಿ.

ಹಾಗೆಯೇ ಉಪಪ್ರಮೇಯ 1 ನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೇ ಮೇಲಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಯಿಂದ ಸಾಧಿಸಿ ತೋರಿಸಬಲ್ಲರು.

ಉಪಪ್ರಮೇಯ 2 ರ ಸಾಧನೆಗಾಗಿ ಯಾವುದಾದರೂ 3 ಭಿನ್ನ ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ತಿಳಿಸಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲ ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಕಡೆಗೆ ವೃದ್ಧಿಸಲಿ. ಇಲ್ಲಿ ಉಂಟಾದ ಪ್ರತಿ ಹೊರ ಕೋನವೂ ಸಮವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಲಿ.

ಎಲ್ಲಾ ಹೊರಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ತಿಳಿಸಿ.

ಹೊರಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬಾಹುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಟಿ) ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಭಾಗಲಬ್ದ ಪಡೆಯಲು ತಿಳಿಸಿ. ಈ ಬೆಲೆಯೂ ಪ್ರತೀ ಹೊರಕೋನದ ಬೆಲೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿ ತೀರ್ಮಾನ ತಿಳಿಸಲಿ.

ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರತಿ ಹೊರ ಕೋನ =

ಗಿ. ಚಟುವಟಿಕೆ ಮುಂದುವರಿಕೆ

1) ಅನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಈ ಮೇಲಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಮ್ಮ ತೀರ್ಮಾನ ತಿಳಿಸಲಿ.

2) ಹೀರುಗೊಳವೆ (Sಣಡಿಚಿತಿ)ಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ.

ರೇಖಾಗಣಿತ

ಘಟಕ-5 - ತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ ಏಕೀಭವನ ರೇಖೆಗಳು

ಕಲಿಕೆಯ ಅಂಶ : ಮಧ್ಯ ರೇಖೆಗಳ ಏಕೀಭವನ

I. ಕಲಿಕಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು.

ಕಲಿಕಾ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳು : ವಿವಿಧ ಅಳತೆಯ ತ್ರಿಭುಜಗಳು

ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಶೀಟ್‍ನಲ್ಲಿ ರಚಿಸಿ, ಕತ್ತರಿಸಿ ತೆಗೆದ ವಿವಿಧ ಅಳತೆಯ ತ್ರಿಭುಜಾಕಾರಗಳನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ನೀಡುವುದು. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ತಾನು ಪಡೆದ ತ್ರಿಭುಜ ಯಾವ ಬಗೆಯದು ಎಂದು ಗುರುತಿಸುವಂತೆ ಸೂಚಿಸುವುದು. (ಲಘುಕೋನ ತ್ರಿಭುಜ, ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜ..... ಇತ್ಯಾದಿ).

II. ಆವಿಷ್ಕರಿಸುವಿಕೆ / ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚುವಿಕೆ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಮ್ಮ ಬಳಿ ಇರುವ ತ್ರಿಭುಜದ ಪ್ರತಿ ಬಾಹುವಿನ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವನ್ನು ಅಳತೆ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸದೇ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ತಿಳಿಸಿ.

ಶೃಂಗ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಮೇಲೆ ಮತ್ತೊಂದು ಬರುವಂತೆ ಮಡಿಸಿ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚಲು ಅನುಕೂಲಿಸಿ.

ಮಧ್ಯಬಿಂದುವನ್ನು ಅಭಿಮುಖ ಶೃಂಗದ ನೇರಕ್ಕೆ ಮಡಿಸಿದಾಗ ಮಧ್ಯರೇಖೆಯ ಮಡಿಕೆ ಮೂಡುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಲು ಅವಕಾಶಮಾಡಿ.

ಂ

ಃ

ಅ

ಘಿ

ಂ

ಅ

ಃ

ಘಿ

III. ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸು / ವಿವರಣೆ

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಮ್ಮಲ್ಲಿರುವ ತ್ರಿಭುಜದ ಮೂರೂ ಬಾಹುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮಧ್ಯರೇಖೆಗಳನ್ನು ಮೂಡಿಸುವಂತೆ ಸೂಚಿಸುವುದು. ಮೂರೂ ಮಧ್ಯರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಏಕೀಭವಿಸುವುದನ್ನು ಗುರುತಿಸುವರು. ಎಲ್ಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ವಿವಿಧ ತ್ರಿಭುಜಗಳಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು ಏಕೀಭವಿಸಿರುವುದನ್ನು ಎಲ್ಲರೂ ಗಮನಿಸಲಿ.

ಈ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಮೂಲಕ ``ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಭುಜದ ಮಧ್ಯರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಏಕೀಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ತ್ರಿಭುಜದ ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರ ಉ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವರು ಎಂಬುದನ್ನು ಶಿಕ್ಷಕರು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವರು.

ಶಿಕ್ಷಕರು ವಿವಿಧ ಅಳತೆಯ ತ್ರಿಭುಜಗಳನ್ನು ಕಪ್ಪು ಹಲಗೆಯ ಮೇಲೆ ರಚಿಸಿ ಅವುಗಳ ಗುರುತ್ವ ಬಿಂದು (ಉ)ವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವರು.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೂ ಸಹ ವಿವಿಧ ಅಳತೆಯ ತ್ರಿಭುಜಗಳಿಗೆ ಗುರುತ್ವಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವರು.

Iಗಿ. ವಿಸ್ತರಣೆ

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಮ್ಮಲ್ಲಿರುವ ತ್ರಿಭುಜದ ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಈ ಮುಂದಿನ ಕೋಷ್ಟಕ ಭರ್ತಿ ಮಾಡಲಿ.

ಉದಾ :

ಂ

ಓ

ಐ

ಉ

ಃ

ಅ

ಒ

ತ್ರಿಭುಜದ ಹೆಸರು

ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಧ

ಮಧ್ಯ ರೇಖೆಗಳು

ಮಧ್ಯ ರೇಖೆಗಳ ಉದ್ದ

ಉ ಯಿಂದ ಉಂಟಾದ ದೊಡ್ಡ ರೇಖಾ ಖಂಡದ ಉದ್ದ

ಉ ಯಿಂದ ಉಂಟಾದ ಚಿಕ್ಕ ರೇಖಾ ಖಂಡದ ಉದ್ದ

ಉ ಯು ಮಧ್ಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿಭಾಗಿಸುವ ಅನುಪಾತ

ಲಘು ಕೋನ ತ್ರಿಭುಜ

ಂಉ =

ಉಒ =

ಂಉ:ಉಒ =

ಂಃಅ

ಂಒ

ಃಓ

ಅಐ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದಲ್ಲಿ

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ದೊಡ್ಡ ಭಾಗ ಂಉ ಯನ್ನು ಮಡಿಕೆಯಗುಂಟ ಮಡಿಸಿ ಂಉ=2ಉಒ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು - ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಈ ಹಿಂದಿನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಕೆಳಕಂಡ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಹಕರಿಸಿ.

v ತ್ರಿಭುಜದ ಮಧ್ಯರೇಖೆಗಳು ಏಕೀಭವಿಸುವ ಬಿಂದು ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ.

v ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಭುಜಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ ಇರುತ್ತದೆ.

v ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರ ಎಲ್ಲಾ ವಿಧದ ತ್ರಿಭುಜಗಳಲ್ಲಿಯೂ ತ್ರಿಭುಜದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ.

v ಗುರುತ್ವ ಕೇಂದ್ರವು ಮಧ್ಯ ರೇಖೆಯನ್ನು 2 : 1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಿ. ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ

1. ತ್ರಿಭುಜದ ಮಧ್ಯರೇಖೆ ಎಂದರೆ ...................................

2. ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಉಳಿಯಬಹುದಾದ ಮಧ್ಯರೇಖೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ...................................

3. ಉ ಯು ಮಧ್ಯರೇಖೆಯನ್ನು ................................... ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

4. ತ್ರಿಭುಜದ ಮಧ್ಯರೇಖೆಗಳು ಏಕೀಭವಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು .......................... ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ತ್ರಿಕೋನಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

1

1+2=3

1, 3, 6, 10, 15, .......... ಇವು ತ್ರಿಕೋನಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಸಂಖ್ಯಾ ವಿನ್ಯಾಸ ಗಮನಿಸಿ

15 + 6 = 21, 28, 36, ............

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

ಚಟುವಟಿಕೆಗಳು

1. ಸಂಖ್ಯಾವಿನೋದಕ್ಕೆ ಚಟುವಟಿಕೆ :

1 2 4 8 16 32 37

ನಮ್ಮನ್ನು ಬಳಸಿ 1 ರಿಂದ 100 ವರೆಗಿನ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉದಾ : 77, (8+32+37=77)

46 (2+4+8+32=46)

2. ಅಪವರ್ತನಗಳು ಮತ್ತು ಅಪವತ್ರ್ಯಕ್ಕೆ ಚಟುವಟಿಕೆ

ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಅಪವತ್ರ್ಯಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಗುರುತಿಸುವುದು.

(ಚಿತ್ರ-1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

ಟ ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಔಊP (ಪಾರದರ್ಶಕ ಹಾಳೆ) ಶೀಟ್‍ನಲ್ಲಿ ತಯಾರಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಟ ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿದಂತೆ 8 ಔಊP ಶೀಟ್‍ನಲ್ಲಿ ಕೋಷ್ಟಕ ರಚಿಸಿ ಆದರೆ ಚೌಕಗಳು ಖಾಲಿ ಇರಲಿ.

ಟ ಖಾಲಿ ಚೌಕವಿರುವ 8 ಔಊP ಶೀಟ್‍ನಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಎರಡರ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಕಪ್ಪು ಸೆಲೋಟೇಪ್‍ನಿಂದ ಅಂಟಿಸಿ.

ಟ ಉಳಿದ ಔಊP ಶೀಟ್‍ಗಳಲ್ಲಿ 3, 4, 5, 6, 7, 8 ಮತ್ತು 9ರ ಆಯಾ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ಮನೆಗಳಿಗೆ ಕಪ್ಪು ಸೆಲೋಟೀಪ್‍ನಿಂದ ಅಂಟಿಸಿ.

ಟ ಚಿತ್ರ-1ರ ಕೋಷ್ಟಕದ ಮೇಲೆ ಸೆಲೋಟೇಪ್ ಅಂಟಿಸಿದ 2ರ ಗುಣಕದ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಐಕ್ಯಗೊಳಿಸಿ ಅದರಲ್ಲಿ 2, 4, 6, 8, 10, 12..................100 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆಯೇ? ಗಮನಿಸಿ.

ಟ ಹೀಗೇ 4, 5, 6, 7, 8, 9 ರ ಗುಣಕದ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಚಿತ್ರ-1ರ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಒಂದರ ನಂತರ ಐಕ್ಯಗೊಳಿಸಿದರೆ ಆಯಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಕಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಂಡು ಬರುತ್ತವೆ.

ಟ ಈ ಗುಣಕಗಳೆಲ್ಲಾ ಆಯಾ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪವತ್ರ್ಯಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಯಬಹುದು.

ಒಂದು ಮಾಹಿತಿ :

ಆಕ್ಷೊಹಣಿ ಸೈನ್ಯ?!

ಮಹಾಭಾರತ ಯುದ್ಧದಲ್ಲಿನ ಸೈನ್ಯವನ್ನು ಈ ಪದದಿಂದ ಹೇಳಿದೆ.

ಆನೆ, ಕುದುರೆ, ರಥ, ಕಾಲಾಳು (ಗಜಪಡೆ, ಅಶ್ವಪಡೆ, ರಥಿಕರು, ಸೈನಿಕರು) ಸೇರಿದ ಚತುರ್ ಅಂಗ ಬಲಕ್ಕೆ ಈ ಹೆಸರು. ಅದರಲ್ಲಿ 2,18,700 ಜನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಾರೆ.

ಸೈನಿಕರು 1,09,350 (37 x 5 x 10)

ಅಶ್ವಗಳು 1,65,610 (37 x 3 x 10)

ಆನೆಗಳು 1,21,870 (37 x 10)

ರಥಗಳು 1,21,870 (37 x 10)

2,18,700

ವರ್ಗಮೂಲ

ಚಟುವಟಿಕೆ : ಪೂರ್ಣವರ್ಗಗಳು ಹಾಗೂ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾ ವಿನ್ಯಾಸಗಳು

1 ರಿಂದ 100 ರವರೆಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಹೀಗೆ ಬರೆಯುವಾಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಾದರಿ ಅನುಸರಿಸಿ.

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92

3 13 23 33 43 53 63 73 83 93

4 14 24 34 44 54 64 74 84 94

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96

7 17 27 37 47 57 67 77 87 97

8 18 28 38 48 58 68 78 88 98

9 19 29 39 49 59 69 79 89 99

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿಂದ ಗುರ್ತಿಸಿ.

ಖಾಲಿ ಬಿಟ್ಟಿರುವ ಕಾಲಂನಲ್ಲಿ ಆ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವಿನಲ್ಲಿದ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

1 11 11 21 21 31 31 41 41 51 51 61 61 71 71 81 81 91 91

2 2 12 12 22 22 32 32 42 42 52 52 62 62 72 72 82 82 92 92

3 3 13 13 23 23 33 33 43 43 53 53 63 63 73 73 83 83 93 93

4 14 14 24 24 34 34 44 44 54 54 64 74 74 84 84 94 94

5 5 15 15 25 35 35 45 45 55 55 65 65 75 75 85 85 95 95

6 6 16 26 26 36 46 46 56 56 66 66 76 76 86 86 96 96

7 7 17 17 27 27 37 37 47 47 57 57 67 67 77 77 87 87 97 97

8 8 18 18 28 28 38 38 48 48 58 58 68 68 78 78 88 88 98 98

9 19 19 29 29 39 39 49 59 59 69 69 79 79 89 89 99 99

10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100

ಈಗ ಅನುಕ್ರಮ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

1 + 4 = 5

ಎರಡನೇ ಕಾಲಂನಲ್ಲಿ ಬರೆದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಬರೆಯಿರಿ. 2 + 3 = 5

ಮೊದಲನೇ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಬಳಸಿ.

ಅದು `2' ಎಂಬ ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರ ಸರಿ.

ಈಗ 4 + 9 ಅಂದರೆ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆ ಮೊತ್ತ ಬರೆಯಿರಿ

4 + 9 = 13, ಹಾಗೆಯೇ 5, 6, 7, 8 ಮೊತ್ತ ನೋಡಿ = 26.

ಇದು (4+9) x 2 ಆಗಿದೆ ಅಲ್ಲವೆ?

ಹಾಗೆಯೇ ಈ ಎರಡು ಪೂರ್ಣವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ

2 x 2 = 4 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಅಲ್ಲವೆ?

ಈಗ ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ

ಅಂದರೆ 9 ಮತ್ತು 16

ಇವುಗಳ ಮೊತ್ತ 9+16=25

9 ರಿಂದ 16 ವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ

10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 75

ಅಂದರೆ (9+16) x 3

ಹಾಗೆಯೇ ಈ ನಡುವಿನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 6

ಅನುಕ್ರಮ ಕಾಲಂ (2) ರಲ್ಲಿರುವ ಕಾಲಂ (2) ರಲ್ಲಿ

ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ನಡುವೆ ಇರುವ

ಮೊತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

(1 + 4) = 5 (2+3) = 5 x 1 2 x 1 = 2

(4 + 9) = 13 (5+6+7+8) = 13 x 2 2 x 2 = 4

(9 + 16) = 25 (10+11+12+13+14+15) = 25 x 3 2 x 3 = 6

(16 + 25) = 41 (17+18+19+20+21+22+23+24) = 41 x 4 2 x 4 = 8

ಮುಂದಿನವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದಲ್ಲವೆ?

(25 + 36) = 61 (26+..................................+35) = 61 x 5 2 x 5 = 10

ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಭರ್ತಿಮಾಡಿ :

(36 + 49) = 85 (37+.........................+48) = ____ x ____ 2 x ___ = ___

(49 + 64) = ____ (50+.........................+63) = ____ x ____ 2 x ___ = ___

(64 + 81) = ____ (65+.........................+80) = ____ x ____ 2 x ___ = ___

(81 + 100) = ____ (82+.........................+99) = ____ x ____ 2 x ___ = ___

ಇದರ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯಾ ವಿನ್ಯಾಸ ನೀವೇ ರಚಿಸಿ, ಪರಿಶೀಲಿಸಿ, ನಿಯಮ ರೂಪಿಸಿ, ಆನಂದಿಸಿ.

ಇದೇ ರೀತಿ ಬೇರೆ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದಲ್ಲವೆ - ಘನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಮಾಹಿತಿ : ಗಣಿತಜ್ಞ ಮಹಾವೀರನ ಗಣಿತಸಾರ ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ :

37 ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದನ್ನು 3, 6, 9, ........... ಗುಣಿಸಿ.

37 x 3 = 111, 37 x 6 = 222, 37 x 9 = 333

37 x 12 = 444, 37 x 15 = 555, 37 x 18 = 666

37 x 24 = 888, 37 x 27 = 999

ಘಟಕ-2

ಚತುರ್ಭುಜಗಳು

v ಚತುರ್ಭುಜದ ಅರ್ಥ

v ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಧಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು

v ಚತುರ್ಭುಜದ ಲಕ್ಷಣಗಳು

v ಚತುರ್ಭುಜದ ರಚನೆಗಳು

I. ಚತುರ್ಭುಜದ ಅರ್ಥ

ಚಟುವಟಿಕೆ : ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ವಿವಿಧ ಅಳತೆಯ ಕಡ್ಡಿಗಳಿಂದ ವಾಲ್‍ಟ್ಯೂಬ್‍ಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲಿ.

ರಚಿಸಿದ ಆಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ 4 ಬಾಹು (ಕಡ್ಡಿ) ಗಳಿಂದ ರಚಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲು ತಿಳಿಸಿ.

4 ಬಾಹುಗಳಿಂದ ಉಂಟಾದ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು `ಚತುರ್ಭುಜ' ಎಂದು ಕರೆಯುವರು ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟ ಪಡಿಸಿ.

ಚತುರ್ಭುಜದ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ : ನಾಲ್ಕು ಸರಳ ರೇಖಾ ಖಂಡಗಳಿಂದ ಆವೃತವಾದ ಸಮತಲಾಕೃತಿಯನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜವೆಂದು ಹೆಸರಿಸುತ್ತೇವೆ.

II. ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಧಗಳು :

ಈ ಹಿಂದಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಯಲ್ಲಿ ರಚಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಚತುರ್ಭುಜಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಅವುಗಳ ಬಾಹುಗಳ ಅಳತೆ (ಉದ್ದ) ಗಮನಿಸಿ ಅವುಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲು ಸೂಚಿಸಿ.

1) ನಾಲ್ಕು ಬಾಹುಗಳ ಸಮನಾಗಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು

2) 2 ಜೊತೆ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸಮನಾಗಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು

3) 2 ಜೊತೆ ಅನುಕ್ರಮ ಬಾಹುಗಳು ಸಮನಾಗಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು

4) 2 ಬಾಹುಗಳು ಸಮನಾಗಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು

5) 3 ಬಾಹುಗಳು ಸಮನಾಗಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು

6) ಎಲ್ಲಾ ಬಾಹುಗಳು ಅಸಮವಾಗಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು.

III.1) ಎಲ್ಲಾ ಬಾಹುಗಳೂ ಸಮವಾಗಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಇವುಗಳು ಈ ಮುಂದಿನಂತೆ ಇರಬಹುದು.

1) ಚೌಕ 2) ವಜ್ರಾಕೃತಿ

(1) ಮತ್ತು (2) ನೇ ಚಿತ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಾಮ್ಯತೆ ಹಾಗೂ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ

(1)ನೇ ಚಿತ್ರ ಚೌಕವಾಗಿದ್ದು ಅದರ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟ ಪಡಿಸಿ

(2)ನೇ ಚಿತ್ರ ವಜ್ರಾಕೃತಿಯಾಗಿದ್ದು ಅದರ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟ ಪಡಿಸಿ.

2) 2 ಜೊತೆ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸಮನಾಗಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಇವುಗಳು ಈ ಮುಂದಿನಂತೆ ಇರಬಹುದು.

1) ಆಯತ 2) ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ

ಈ ಎರಡೂ ಆಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಾಮ್ಯತೆ ಹಾಗೂ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ. (1)ನೇ ಚಿತ್ರ ಆಯತ ಹಾಗೂ (2)ನೇ ಚಿತ್ರ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳೆಂದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಪಡಿಸಿ, ಇವುಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿಸಿ.

ಯೋಚಿಸಿ : ಆಯತ, ವಜ್ರಾಕೃತಿ, ಚೌಕಗಳೂ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳೆ?

ಆ

ಂ

ಅ

ಃ

ಖ

1

S

ಆ

1

ಅ

ಕಿ

2

2

P

ಂ

ಃ

3) ಎರಡು ಜೊತೆ ಅನುಕ್ರಮ ಬಾಹುಗಳು ಸಮವಾಗಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜ

ಈ ಮಾದರಿ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಪತಂಗ (ಗಾಳಿಪಟ) (ಏiಣe) ಎನ್ನುವರು. ಈ ಚತುರ್ಭುಜದ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ.

Iಗಿ. ಎರಡು ಬಾಹುಗಳು ಸಮನಾಗಿರುವ, ಮೂರು ಬಾಹುಗಳು ಸಮನಾಗಿರುವ ಹಾಗೂ ಎಲ್ಲಾ ಬಾಹುಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು.

1ನೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಂಆ ಮತ್ತು ಆಅ ಬಾಹುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾಗಿವೆ. ಮತ್ತು ಆಅ II ಂಃ

2ನೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ Sಖ, SP, ಖಕಿ ಬಾಹುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮನಾಗಿವೆ ಮತ್ತು Sಖ II Pಕಿ

ಈ 2 ಆಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ 1 ಜೊತೆ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಲು ತಿಳಿಸಿ. ಈ ರೀತಿ 1 ಜೊತೆ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳು ಸಮಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಇವುಗಳನ್ನು `ತ್ರಾಪಿಜ್ಯ' ಎನ್ನುವರು.

ತ್ರಾಪಿಜ್ಯಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿಸಿ.

3ನೇ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಬಾಹುಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಳತೆಯವುಗಳಾದುದರಿಂದ ಇದು ಯಾವುದೇ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರದ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆ : ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಚತುರ್ಭುಜಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ ಅವುಗಳ ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ.

ಇದರಿಂದ ಉಂಟಾಗು ವಿವಿಧ ತ್ರಿಭುಜಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿಸುವುದು.

ಆ

ಃ

ಖ

1

S

ನಮ್ಮ - ನಮ್ಮಲ್ಲಿ

ಮ.ಸಾ.ಅ., ಲ.ಸಾ.ಅ

ಊ ಐ

ಅ ಅ ಅ - ಅommoಟಿ

ಈ ಒ

ಮ ಲ

ಸಾ ಸಾ ಸಾಮಾನ್ಯ

ಅ ಅ ಸಾಮಾನ್ಯದಂತೆ ಕಂಡರೂ ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಬರೆದಾಗ ಹಾಗಲ್ಲ.

ಈ - ಈಚಿಛಿಣoಡಿ ಅಪವರ್ತನ

ಒ - ಒuಟಣiಠಿಟieಡಿ ಅಪವತ್ರ್ಯ

ಈ - ಈಚಿಣheಡಿ - ಈemiಟಿiಟಿe; ಒ - ಒoಣheಡಿ - ಒಚಿsಛಿuಟiಟಿe ಇದೇ ರೀತಿ ಅಪವರ್ತನ, ಅಪವತ್ರ್ಯ ಪದಗಳ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲದಿಂದಾಗಿ ಮ.ಸಾ.ಅ., ಲ.ಸಾ.ಅ. ವನ್ನೂ ಕಲಿಸುವಾಗ ಅಸಂಬಂದ್ಧವಾದರೀತಿ ಎರಡ (ಈ, ಒ)ನ್ನು ಅಪವರ್ತನವೆಂದೋ, ಅಪವತ್ರ್ಯವೆಂದೋ ಪರಿಚಯಿಸಿಬಿಟ್ಟಿರುತ್ತಾರೆ. ಇದನ್ನು ಈಗಲಾದರೂ ಸರಿಪಡಿಸೋಣ.

ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿದ್ದ ಕೆಲವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹೆಸರು :

ಮಹಾಓಘ = 1067

ಓಘ = 1062

ಮಹಾಸಮುದ್ರ = 1057

ಸಮುದ್ರ = 1052

ಮಹಾಖರ್ವ = 1047

ಖರ್ವ = 1042

ಮಹಾಪದ್ಮ = 1037

ಪದ್ಮ = 1032

ಮಹಾಬೃಂದ = 1027

ಬೃಂದ = 1022

ಮಹಾಶಂಖ = 1017

ಶಂಖ = 1012

ಅಂತ = 1011

ಮಧ್ಯ (ಸಹಸ್ರ ಕೋಟಿ) = 1010

ಸಮುದ್ರ (ಶತಕೋಟಿ) = 109

ನ್ಯರ್ಬುದ = 108

ಚಟುವಟಿಕೆ : ಘಟಕ : ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ (ಬೀಜಗಣಿತ)

ಕಲಿಕಾಂಶ : ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಹಾಗೂ ಲ.ಸಾ.ಅ

ಉದ್ದೇಶ : ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ಗಳಿಗಿರುವ ಸಂಬಂಧ ಅರಿಯುವವರು.

ಉದಾಹರಣೆ : (P+3)3, 2P3 + 54 + 18 P (P+3) ಮತ್ತು

(P2+6P +9) ಇವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

ಲ.ಸಾ.ಅಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವತÀ್ರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಲ್ಲವೆ?

ಮ.ಸಾ.ಅಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪರ್ತನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಲ್ಲವೆ?

ಏ ಇಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಬೀಜೋಕ್ತಿ (P+3)3 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಬರಿಯೋಣ.

(P+3)3 = (P+3) (P+3) (P+3)

ಏ ಎರಡನೆ ಬೀಜೋಕ್ತಿ : 2P3+54 +18P (P+3)

ಇದನ್ನು ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ ಬರೆಯೋಣ

2P3+54 +18P (P+3) = 2P3+54 +18 P (P+3)

ಇಲ್ಲಿ 2 (P3+27) ನ್ನು ಚಿ3 +b3 (ಚಿ+b) (ಚಿ2 +b3 -ಚಿb)

ಸೂತ್ರ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಬರೆಯೋಣ

2 (P3+27) = 2 (P3 +33 )

= 2 (P +3 ) (P2 +9 - 3 P )

ಟ 2P3 + 54 + 18 P (P+3) = 2 (P+3) (P2 +9 - 3 P ) + 18 P (P+3)

= 2 (P+3) {(P2 +9 - 3 P) + (9 P )}

= 2 (P+3) (P2 +9 +6 P )

ಇಲ್ಲಿ (P2+9 +6 P ) ನ್ನು (ಚಿ+b)2 ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಅಳವಡಿಸಬಹುದೆಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ

ಹೌದು, ಇದು P2 + 2.3 P - 32

ಟ (ಚಿ+b)2 = ಚಿ2 + 2.ಚಿ.b + b2

ಟ P3 + 2.3 P + 32 = (P+3)2

ಟ 2P3 + 54 + 18 P (P+3) = 2 (P+3) (P+3)2

ಆಗುತ್ತದೆಯೇ ನೋಡಿ

ಏ ಮೂರನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿ : (P2+6 P + 9) ನ್ನು ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ ಬರೆಯಿರಿ.

P2+6 P + 9 = (P+3)2

ಟ ಈಗಾಗಲೇ 2ನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಇದರ ಅಪವರ್ತನ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆ.

ಈಗ ಭಾಜ್ಯತೆ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಊಈಅ ಮತ್ತು ಐಅಒ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯೋಣ

ಊ.ಅ.ಈ ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದ ಅಥವಾ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

(P + 3) (P + 3) (P + 3), 2 (P + 3) (P + 3) (P + 3), (P + 3) (P + 3)

ಈ ಮೂರರಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ದ್ವಿಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತಾ ಹೋಗಿ.

(P + 3) (P + 3) (P + 3) (P + 3), 2 (P + 3) (P + 3) (P + 3), (P + 3) (P + 3)

= (P + 3) (P+3), 2(P+3) (P+3), (P+3)

(P + 3) (P + 3) (P + 3), 2 (P + 3), (P + 3) , (P + 3)

ಈಗ (P + 3), 2 (P + 3), 1 ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ.

ಟ ಮೂರು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ಬರೆಯಿರಿ.

ಅದು (P + 3) (P + 3) = (P+3)2

ಟ ದತ್ತಬೀಜೊಕ್ತಿಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ.ವು (P+3)2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಐ.ಅ.ಒ.

ಹಾಗೆಯೇ ಮೂರು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಭಾಜ್ಯತೆ ನಿಯಮವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ ಬರೆಯಿರಿ.

(P + 3) (P + 3) (P + 3), 2 (P + 3) (P + 3) (P + 3), (P + 3) (P + 3)

ಈ ಮೂರರಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ದ್ವಿಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತಾ ಹೋಗಿ.

(P + 3) (P + 3) (P + 3) (P + 3), 2 (P + 3) (P + 3) (P + 3), (P + 3) (P + 3)

= (P + 3) (P+3), 2(P+3) (P+3), (P+3)

(P + 3) (P + 3) (P + 3), 2 (P + 3), 2 (P + 3) , (P + 3)

= (P+3), (2) (P+3), 1

(P + 3) (P + 3), 2 (P + 3), 1

1, 2, 1 ಇವುಗಳಿಗೆ

ಒಂದರ ವಿನಃ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ.

ಟ ಮೂರು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವೇ

ಲ.ಸಾ.ಅ. ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಐ.ಅ.ಒ. = (P + 3) (P + 3) (P + 3) 1 x 2 x 1

= 2 (P+3)2

ಒಂಬತ್ತನೆಯ ತರಗತಿಯ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿನ ಅಭ್ಯಾಸದ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಸ್ತಾಪ :-

ಒಂಬತ್ತನೆಯ ತರಗತಿಯ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರ ಹುಡುಕುವ ಪ್ರಯತ್ನ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಪಠ್ಯದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ನೋಡಿ ಇದನ್ನು ಹುಡುಕುವುದಿಲ್ಲ. ಬದಲಾಗಿ ತಾರ್ಕಿಕತೆ ಹಾಗೂ ಹಿಂದಿನ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಈಗಿನ ಕಲಿಕೆಯನ್ನು ಸಮ್ಮಿಳಿತಗೊಳಿಸಿ ಗಣತಿಯ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುವುದು ಇಲ್ಲಿನ ಆಶಯ.

ಅಭ್ಯಾಸ 1.2.1

4. ಆರು ಅಂಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ ಚಿbಛಿಚಿbಛಿ ಮತ್ತು ಚಿbಚಿbಚಿb ಗಳ ಅನುಪಾತವು 55 : 54 ಆಗಿದೆ. ಅಂಕೆಗಳಾದ ಚಿ, b, ಛಿ ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಚಿbಛಿಚಿbಛಿ : ಚಿbಚಿbಚಿb = 55 : 54

ಚಿbಛಿಚಿbಛಿ = 55 ಛಿ x

ಚಿ+ಛಿ+b = b+ಚಿ+ಛಿ (ಟ 1, 3, 5ನೇ ಸ್ಥಾನಗಳ ಅಂಕಗಳ ಮೊತ್ತ = 2, 4, 6ನೇ ಸ್ಥಾನಗಳ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ)

ಚಿbಛಿಚಿbಛಿ ಯು 11 ರಿಂದ ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಭಾಗವಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆ.

11 ರಿಂದ ನಿಶ್ಶೇಷೆವಾಗಿ ಭಾಗವಾಗಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ 55 ಆಗಬೇಕಾದರೆ

ಚಿbಛಿಚಿbಛಿ ಯ ಬಿಡಿ ಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆ `5' ಆಗಿರಲೇಬೇಕು.

ಚಿbಚಿbಚಿb = 54 ಘಿ ಚಿbಛಿಚಿbಛಿ

55

ಚಿbಚಿbಚಿb ಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬ್ಧವು ಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅಂತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ b ಯು 0, 2, 4, 6, 8 ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದಾಗಿರಬೇಕು.

ಚಿ ಯನ್ನು 1, 3, 9 ಅಥವಾ ಛಿ, b ಗಳಲ್ಲಿದ ಇನ್ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರಲೆಂದು ಭಾವಿಸುವ ಹಾಗೂ ಪ್ರಾರಂಭಕ್ಕೆ ಚಿ=1 ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವ

ಮೊದಲಿಗೆ ಚಿ=1, b=0, ಛಿ=5 ಆದೇಶಿಸಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಚಿbಛಿಚಿbಛಿ ಬರೆಯೋಣ

ಚಿbಛಿಚಿbಛಿ = 105105 ಇದನ್ನು 55 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬ್ಧ 1911, 1911ನ್ನು 54 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಗುಣಲಬ್ಧ = 103194. ಇದು ಚಿbಚಿbಚಿb ರೂಪದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಹೀಗೆಯೇ ಚಿ=1, b=2, ಛಿ=5 ಆದೇಶಿಸಿ 55 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು 54 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಚಿbಚಿbಚಿb ರೂಪದಲಿಲ್ಲ.

ಹೀಗೆಯೇ ಚಿ=1, b=4, ಛಿ=5 ಆದೇಶಿಸಿದಾಗಲೂ ಗುಣಲಬ್ಧ ಚಿbಚಿbಚಿb ರೂಪದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಚಿ=1, b=6, ಛಿ=5, ................, ...................

ಚಿ=1, b=8, ಛಿ=5 ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ

3367ನ್ನು 54 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ 3367 x 54 = 181818. ಇದು ಚಿbಚಿbಚಿb ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

ಚಿbಛಿಚಿbಛಿ : ಚಿbಚಿbಚಿb = 185185 : 181818 = 55 : 54

ಇದೇ ಕ್ರಮ ಅನುಸರಿಸಿ ಚಿ ಗೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ತರ್ಕವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬಹುದು.

ಈ ಕ್ರಮದಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಮುದ್ರಿತವಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಅವಲಂಭಿಸದೆ ಗಣಿತ ಕಲಿಕೆಯ ತರ್ಕ, ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮುಂತಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಜೀವನಕ್ಕೂ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರೇರಣೆ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

ಅಭ್ಯಾಸ 1.2.1

5. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅರ್ಧವು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಘನ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗವು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ 7ನೇ ಘಾತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಳನೇ ಒಂದು ಭಾಗವು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ವರ್ಗವಾಗಿರುವಂತೆ. 2ಚಿ 3b 7ಛಿ ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಅತಿಚಿಕ್ಕ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ ಅದು x ಆಗಿರಲಿ, ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ( ನ್ನು ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಿದೆ. ಬೀಜಾಕ್ಷರವಿಲ್ಲದೇ ಆಳೋಚಿಸಲುಬಹುದು) 2ಚಿ 3b 7ಛಿ ರೂಪದಲ್ಲಿರಬೇಕು.

,  

3

,  

,  

ಈಗ ಗಮನಿಸಿ, ರೂಪದಲ್ಲಿರಬೇಕಾಗಿದೆ (ಚಿ-1), b, ಛಿ ಗಳು 3 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗಲೇಬೇಕು.

ರೂಪದಲ್ಲಿರಬೇಕಾದರೆ ಚಿ, (b-1), ಅ ಗಳು 7 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗಬೇಕು.

ರೂಪದಲ್ಲಿರಬೇಕಾದರೆ ಚಿ, b, (ಛಿ-1) ಗಳು 2 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಬೇಕು.

ಅಂದರೆ ಚಿ, b, ಛಿ ಇವುಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಬೆಲೆಯು ಕನಿಷ್ಠ 3ಛಿ7=21 ಆಗಿರಬೇಕು.

ಹಾಗೂ ಗರಿಷ್ಠ 3ಛಿ7ಛಿ2=42 ಆಗಿರಬೇಕು.

ಆಗ 2ಚಿ 3b 7ಛಿ ಯು ಕನಿಷ್ಠ ಬೆಲೆಯ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಟ ಚಿ=21 ಎಂದು ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಆದರೆ ಇದು 2 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಚಿ=22 ಈಗ (ಚಿ-1), 3 ರಿಂದ ಭಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿ=22, 7 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಚಿ=25 ಇದೇ ರೀತಿ

ಚಿ=28 ಆದರೆ (ಚಿ-1) = 27, ಇದು 3 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗುತ್ತದೆ.

ಹಾಗೆಯೆ ಚಿ=28, 2 ರಿಂದ 7 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗುತ್ತದೆ.

ಟ ಚಿ=28

b ಬೆಲೆ ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ

ಕನಿಷ್ಠ b=21. ಇಲ್ಲೂ b=21, 2 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

b-1, 3 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗಬೇಕು.

ಟ b=22 ಆದರೆ (b-1) 3 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ b=22, 7 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

7

2

(b-1) = 28, 35 ಇವುಗಳಲ್ಲಿ

b=29, 3 ರಿಂದ 2 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗುವುದಿಲ್ಲ

b=35+1=36 ಇದು 3 ಹಾಗೂ 2 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗುತ್ತದೆ.

ಛಿ=21, ಛಿ-1 = 20.

ಟ ಛಿ-1 = 20, 2 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗುತ್ತದೆ

ಛಿ = 21, 3 ಹಾಗೂ 7 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗುತ್ತದೆ.

ಟ ಛಿ = 21

ಟ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ 2ಚಿ 3b 7ಛಿ = 228 336 721

1) = 227 336 721 = (29 312 77)3

2) = 228 335 721 = (24 35 73)7

3) = 228 336 720 = (214 318 710)2

ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆ 2ಚಿ 3b 7ಛಿ = 228 336 721

1) 228 = 210 ಛಿ 210 ಛಿ 28 = 1024 ಛಿ 1024 ಛಿ 256

= 26,84,35,456

ಹೀಗೆಯೇ 336, 721 ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಅಭ್ಯಾಸ 1.1.1

ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ.

4. 9, 31, 84, 297, 1024, 6789, 12345 ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಈ ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟೆಷ್ಟು ಅಂಕಿಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿದ್ದನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ಸೂಕ್ತ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಕೊಡಿ.

ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿರುವ

ಅಂಕೆಗಳು ಅಂಕಿಗಳು

9 1 81 2

31 2 961 3

99 2 9,801 4

297 3 88,209 5

972 3 9,44,784 6

1024 4 10,48,576 7

6789 4 4,60,90,521 8

12345 5 15,23,99,025 9

34567 5 1,19,48,77,489 10

1, 2, 3 ಕ್ಕೆ ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆ 1, 4, 9 (ಒಂದು ಅಂಕೆ ಸಂಖ್ಯೆ)

4ಕ್ಕೆ ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆ 16 (ಎರಡಂಕೆ ಸಂಖ್ಯೆ)

1) ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಅಂಕೆ ಇದ್ದಾಗ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಅಂಕೆ ಇರುತ್ತದೆ.

2) ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳಿದ್ದಾಗ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಅಂಕೆ ಇರುತ್ತದೆ.

3) ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಮೂರು, ನಾಲ್ಕು ಅಂಕೆಗಳಿದ್ದಾಗ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳಿರುತ್ತವೆ.

4) ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಐದು, ಆರು ಅಂಕೆಗಳಿದ್ದಾಗ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಅಂಕೆಗಳಿರುತ್ತವೆ.

5) ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಏಳು, ಎಂಟು ಅಂಕೆಗಳಿದ್ದಾಗ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಅಂಕೆಗಳಿರುತ್ತವೆ.

6) ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಒಂಬತ್ತು, ಹತ್ತು ಅಂಕೆಗಳಿದ್ದಾಗ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲದಲ್ಲಿ ಐದು ಅಂಕೆಗಳಿರುತ್ತವೆ.

ಹೇಳಿಕೆ : ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ 2ಟಿ-1, 2ಟಿ ಅಂಕೆಗಳಿದ್ದಾಗ ಅದರ ವರ್ಗಮೂಲದಲ್ಲಿ ಅಂಕೆಗಳಿರುತ್ತವೆ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆ ಬಿಡಿಸುವಾಗ ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಕೊಡದಿದ್ದ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಅನುಕೂಲವಾಗಲೆಂದು ಸೇರಿಸಿದೆ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರ/ಹೇಳಿಕೆಯಿಂದ ದೊರಕುವ ಅಂಶವೇನೆಂದರೆ ಭಾಗಾಕಾರ ವಿಧಾನದಿಂದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸ್ಥಾನದಿಂದ, ಎರಡೆರಡಾಗಿ ಗುಂಪು ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಅಡಕವಾಗಿರುವ ಗಣಿತದ ಒಂದು ಸಂಗತಿ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಹಾಗೂ ಇದನ್ನು ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡಿಸಿ.

ಇದೇ ರೀತಿ ಅಭ್ಯಾಸದ ಲೆಕ್ಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಂಶಗಳು, ಅಡಕವಾಗಿರುವುದನ್ನು ತಾವು ಕಲಿಸುವಾಗ ಗಮನಿಸಿ, ಸೂಕ್ತ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನದೊಂದಿಗೆ, ಗಣಿತದ ನಿಜವಾದ ಕಲಿಕೆ ಆಗುವಂತೆ ಯೋಚಿಸಬೇಕಾಗಿ ಅಪೇಕ್ಷಿಸಿದೆ.

ಏಕಕಾಲಿಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ತಿಳಿದಿರಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳು

ಞ ಚರಾಂಶದ ಅರ್ಥ

ಞ ಸಮೀಕರಣದ ಅರ್ಥ

ಞ ಏಕಘಾತಕ ಒಂದೇ ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಪಕರಣವೇ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ.

ಞ ಒಂದು ಚರಾಂಶ ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಪಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ಒರಗೆ ಹಚ್ಚುವುದು.

ಞ ಹೇಳಿಕೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ, ಸಂಖ್ಯಾರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಲ್ಲದೇ ರಚಿಸುವುದು.

ಞ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿಸುವಾಗ ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಕ್ರಿಯಾವಿಧಿಗೆ (ಕ್ರಮವಿಧಿ) ತಲುಪುವುದು.

ಏಕಕಾಲಿಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಗತ್ಯ

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸೋಣ. ಒಂದು ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡಿ ಮುಗಿಸುವುದಿದೆ ಅದಕ್ಕೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವವರ ಅಗತ್ಯ ಇದೆಯಲ್ಲವೇ? ಕಾಮಯ್ಯ ಮತ್ತು ಮುನಿಯಪ್ಪ ಇಬ್ಬರೂ ಸೇರಿ 12 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮುಗಿಸಿ ಕೊಡುತ್ತೇವೆ ಅಂದರು. ಅವರಿಬ್ಬರೂ ಕೆಲಸ ಆರಂಭಿಸಿ 6 ದಿನಗಳ ಕಾಲ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರೆ, ಉಳಿದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಗಿಸಲು ಮುನಿಯಪ್ಪ ಮತ್ತೂ 15 ದಿನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆಂದನು. ಒಬ್ಬನೇ ಕೆಲಸಗಾರ ಇದನ್ನು ಮುಗಿಸಿ ಕೊಡಬೇಕೆಂದರೆ ಅವನು ಕೆಲಸ ಮುಗಿಸಲು ಎಷ್ಟು ದಿನ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದನು?

ಈ ಪ್ರಸಂಗದಲ್ಲಿ, ತನಗೆ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಅನುಕೂಲವಾಗುವಂತೆ ಒಬ್ಬ ಕೆಲಸಗಾರ ಅಥವಾ ಇಬ್ಬರೂ ಕೆಲಸಗಾರರಿಂದ ಕೆಲಸ ಪಡೆಯಲು ನಿರ್ಧಾರ ಕೈಗೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯ ಕಂಡುಬರುತ್ತದಲ್ಲವೇ? ಈ ನಿರ್ಧಾರ ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಪ್ರತೀ ಕೆಲಸಗಾರ ಒಬ್ಬನೇ ಎಷ್ಟು ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮುಗಿಸಬಲ್ಲನು ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಇರುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸಿಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳ ಬಹುದಾದರೂ ಪ್ರಸಕ್ತ "ಏಕಕಾಲಿಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ" ಸಹಾಯ ಪಡೆಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಗಮನಿಸೋಣ. ಅಂದರೆ, ಏಕಕಾಲಿಕ ಸಮೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯ ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾ ಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನ ಹೇಗೆ ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ?

ಞ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ - ಅಂದರೆ ಇದರಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ನೀಡಲಾಗಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಅರ್ಥ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು.

ಇಲ್ಲಿ ಇಬ್ಬರೂ ಕೆಲಸಗಾರರು ಸೇರಿ ಮಾಡಿದಾಗ 12 ದಿನಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಮಾಹಿತಿ ಇಬ್ಬರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬ 6 ದಿನಗಳ ನಂತರ ಬಿಟ್ಟು ಹೋದಾಗ ಉಳಿದವನೊಬ್ಬನೇ ಉಳಿದ ಕೆಲಸ ಮುಗಿಸಲು ಇನ್ನೂ 15 ದಿನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಇದು ಇನ್ನೊಂದು ಮಾಹಿತಿ ಇವುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಕಡೆ ಇಟ್ಟು ಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಞ ಈಗ ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯ ಬೇಕಾದದ್ದೇನೆಂದು ಅರ್ಥ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ಪ್ರತೀ ಕೆಲಸಗಾರ ಒಬ್ಬನೇ ಆ ಕೆಲಸ ನಿರ್ವಹಿಸಿದಾಗ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬನೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅವಧಿಯನ್ನು ತಿಳಿಯಬೇಕು.

ಞ ಈಗ ಪ್ರತೀ ಕೆಲಸಗಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅವಧಿಗಳು ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಅವ್ಯಕ್ತ ಪದಗಳಾಗಿ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಞ ಇಲ್ಲಿ ಅವ್ಯಕ್ತಪದಗಳೆಂದರೆ ಕೆಲಸದ ದಿನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರಬೇಕಲ್ಲವೇ?

ಈಗ ರಾಮಯ್ಯನೊಬ್ಬನೇ ಆ ಕೆಲಸ ಮುಗಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ದಿನಗಳು ಘಿ ಮತ್ತು ಮುನಿಯಪ್ಪನೊಬ್ಬನೇ ಆ ಕೆಲಸ ಮುಗಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ದಿನಗಳು ಙ ಆಗರಲಿ.

ಇಬ್ಬರೂ ಸೇರಿ ಒಂದು ದಿನದಲ್ಲಿ ಮುಗಿಸುವ ಕೆಲಸ ಭಾಗ =

ಅಂದರೆ ಇಬ್ಬರೂ ಒಟ್ಟಿಗೇ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದಾಗ, ಒಂದು ದಿನದಲ್ಲಿ ರಷ್ಟು ಕೆಲಸ ಮುಗಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅಂದರೆ, ಇವೆರಡನ್ನೂ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಾಗ ನಮಗೆ ಸಿಗುವ ಬೀಜ ಸಂಬಂಧ

.............. (1) ಸಮೀಕರಣ

ರಾಮಯ್ಯ ಮತ್ತು ಮುನಿಸ್ವಾಮಿ ಇಬ್ಬರೂ 6 ದಿನಗಳ ಕಾಲ ಒಟ್ಟಿಗೇ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದಾಗ ಆದ ಕೆಲಸ ಭಾಗ ಉಳಿದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುನಿಸ್ವಾಮಿ ಇನ್ನೂ 15 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಿ

ಮುಗಿಸುತ್ತಾನೆ ಅಂದಾಗ ಅವನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ದಿನಗಳ . ಒಟ್ಟಾರೆ ಇವೆರಡನ್ನೂ ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಕೆಲಸ 1 ಪೂರ್ಣವಾಗುವುದು. ಅಂದರೆ,

.......... (2)

ಈಗ ಸಮೀಕರಣ 1 ನ್ನು 6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ,

........... (3)

ಈಗ (2) - (3)

ಟ x = 20

(ಸೂಚನೆ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ತಾಳೆ ನೋಡಿ)

ಇದೇ ರೀತಿ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಸಮಸ್ಯಾ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಬಿಡಿಸಿ, ತಾಳೆ ನೋಡುವುದನ್ನು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿ.

ಒರಿಗಾಮಿ - ತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿನ ಏಕೀಭವನ ರೇಖೆಗಳು

ಚಟುವಟಿಕೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಬಗೆ

ಪೀನ ಮಸೂರದ ಮೂಲಕ ಬೆಳಕನ್ನು ಹಾಯಿಸುವುದು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಯೋಗ ಹೀಗೆ ಹಾಯ್ದ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಬೆಳಕು ಒಂದು ಕಡೆಗೆ ಬಾಗಿ, ಅಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿ, ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ `ಬೆಂಕಿ' ಹತ್ತಿಸುವುದು ಚಿಕ್ಕವರಿದ್ದಾಗ ನಾವೆಲ್ಲರೂ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿರಬಹುದಾದ ಕ್ರಿಯೆ. ಒಂದು ಕಡೆಗೆ ಬಾಗಿ, ಒಂದು ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಸಾಗುವ ಕಿರಣಗಳನ್ನು `ಏಕೀಭವನ' ಹೊಂದಿದ ಕಿರಣ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಈ ಕಲಿಕೆ ತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿನ ಏಕೀಭವನ ರೇಖೆಗಳ ಪ್ರಸ್ತಾಪಕ್ಕೆ ಬಳಸಬಹುದು. ಇದು ಗಣಿತ-ವಿಜ್ಞಾನದ ಸಮ್ಮಿಳತ ಮಾಡುವ ಕ್ರಮವೂ ಆಗುತ್ತದೆಯಲ್ಲವೇ? ತ್ರಿಭುಜ ಏಕೀಭವನ ರೇಖೆಗಳ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಾಯಕವಾಗುವ ಚಟುವಟಿಕೆ ರೂಪಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನ ಇಲ್ಲಿದೆ.

ಚಟುವಟಿಕೆ :

ಞ ಬಿಳಿ ಹಾಳೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿರಿ. ಬಹುತೇಕ ಹಾಳೆಗಳು ಆಯತಾಕಾರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಞ ಈ ಹಾಳೆಯಿಂದ ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಲಿ -

ಅಗಲದ ಅಂಚನ್ನು ಉದ್ದದ ಅಂಚಿನಗುಂಟ ಜೋಡಿಸಿತೀಡಿ.

ತ್ರಿಭುಜಾಕಾರವನ್ನು

ಆಯತದ ಹಾಳೆಯು

ಮೇಲಕ್ಕೆ ಹಿಮ್ಮಡಿಸಿ

ಎರಡು ಪದರವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿಕೊಂಡು, ಬಿಚ್ಚಿದರೆ `ಚೌಕ' ಹಾಳೆ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

ಇದೇ ರೀತಿ ಮತ್ತೊಂದು ಕಾಗದ ಚೌಕವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಞ ಈ ಎರಡು ಚೌಕಗಳ ಕರ್ಣದ ಗುಂಟ ಕತ್ತರಿಸಿರಿ, ಪ್ರತಿಚೌಕದಿಂದ

2 ರಂತೆ 4 ತ್ರಿಭುಜಾಕಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ.

ಞ ಈ ನಾಲ್ಕು ತ್ರಿಭುಜಾಕರಗಳು

i) ಸಮದ್ವಿ ಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜ

ii) ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ.

ಞ ಲಂಬಕೋನವನ್ನು ಗುರ್ತುಮಾಡಿ

ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಂಃಅ, Pಕಿಖ, ಐಒಓ, ಘಿಙZ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿ. (ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಹೀಗೆ ಮಾಡಿದೆ)

m ಂಃಅ ಯ ಂ ಶೃಂಗದಿಂದ ಃಅ ಪಾದಕ್ಕೆ ಲಂಬರೇಖೆ ಎಳೆಯಿರಿ.

ಇದಕ್ಕೆ ಸ್ಕೇಲ್, Seಣsquಚಿಡಿe ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಅಥವ ಂಅ ಬಾಹುವನ್ನು ಂಃ ಬಾಹುವಿನಲ್ಲಿ ಐಕ್ಯಗೊಳಿಸಲು ಕಾಗದ ಮಡಿಸಿ ತೀಡಿದರೆ ಉಂಟಾಗುವ ಗೆರೆ, ಲಂಬರೇಖೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಪೆನ್ಸಿಲ್‍ನಿಂದ ಗುರ್ತಿಸಿ ಂಆ ಲಂಬರೇಖೆ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿ.

ಂಃ ರೇಖೆಗೆ ತ್ರಿಭುಜದ ಅ ಶೃಂಗದಿಂದ ಲಂಬರೇಖೆ ಎಳೆಯಿರಿ.

ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವೇನು? ಂಃ ಗೆ ಂಅ ಲಂಬವಾಗಿದೆ

ಏಕೆ ? m

ಇದೇ ವಿವರ ಂಅ ಪಾದಕ್ಕೆ ಃ ಶೃಂಗದಿಂದ ಲಂಬ ವೆಂದರೆ ಅದು ಃಂ ಗಮನಿಸಲು ತಿಳಿಸಿ.

ಃಂ, ಅಂ, ಆಂ ಂಃಅ ತ್ರಿಭುಜದ ಃ, ಅ , ಂ ಶೃಂಗಗಳಿಂದ

ಕ್ರಮವಾಗಿ ಂಅ, ಂಃ, ಃಅ ಪಾದಗಳಿಗೆ ಎಳೆದ ಲಂಬವೆಂದು ಗಮನಿಸಿ

ಃಂ, ಅಂ, ಆಂ ಗಳು ಸೇರುವ ಬಿಂದು ಂ

ಂ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಃಂ, ಅಂ, ಆಂ ಗಳು ಏಕೀಭವನ ಹೊಂದಿವೆ.

ಂ

ಃ

ಅ

ಆ

ತ್ರಿಭುಜದ ಶೃಂಗದಿಂದ ಅಭಿಮುಖಬಾಹುವಿಗೆ ಎಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಲಂಬರೇಖೆಗಳಷ್ಟು? ಚರ್ಚಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ.

ಚಟುವಟಿಕೆ ಮುಂದುವರೆಸೋಣ. Pಕಿಖ ತ್ರಿಭುಜ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ

, , ಗಳು , , ಅಳತೆ ಯಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಲು ತ್ರಿಭುಜವನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಮಡಿಸಿ.

ಪಡೆಯಲು Pಖ ಅಂಚನ್ನು Pಕಿ ಅಂಚಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಿ ಮಡಿಸಿ, ತೀಡಿ, ಬಿಚ್ಚಿ ಮಾಡಿದ ಗೆರೆಯ ನ್ನು ,  ಯನ್ನಾಗಿಸಿದೆ.

ಈ ಕೊನ ದ್ವಿಭಾಜ ರೇಖಾಖಂಡನ್ನು PS ಎನ್ನಿರಿ.

ನ್ನು ಅರ್ಧಿಸಲು ಕಿP ಅಂಚನ್ನು ಕಿಖ ಅಂಚಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಿ ತೀಡಿ, ದ್ವಿಭಾಜಕ ಗೆರೆ

Pಖ ನ್ನು ಖಿ ಯಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸಲಿ (ದ ದ್ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ಕಿಖಿ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿ.

ಇದೇ ರೀತಿ ನ್ನು ಅರ್ಧಿಸುವ ರೇಖೆ ಗುರ್ತಿಸಲಿ, ಅದನ್ನು ಖU ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿ.

, , ಕೋನಾರ್ಥ ರೇಖೆಗಳು ತ್ರಿಭುಜದಿಂದ ಆವೃತವಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗಿವೆ, ಅಂದರೆ ಏಕೀಭವನ ಹೊಂದಿವೆ. ಇದನ್ನು ಎಂದು 'I' ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. (I ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ದತ್ತ ತ್ರಿಭುಜಕ್ಕೆ ಅಂತಃವೃತ ರಚಿಸಬಹುದು) I = Iಟಿ ಛಿeಟಿಣಡಿe (ಅಂತಃ ಕೇಂದ್ರ)

ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜಕ್ಕೆ ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕೋನಾರ್ಧ ರೇಖೆಗಳು ಇರಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಚರ್ಚಿಸಿ.

ಈಗ m ಐಒಓ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ

ಈ ತ್ರಿಭುಜದ ಬಾಹುಗಳ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೂಕ್ತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಾದದ ಅಂಚನ್ನು ಮಡಿಸಿ, ಜಾಗೂರೂಕತೆಯಿಂದ ಗುರ್ತಿಸಿ, ಹೆಸರಿಸಿ. ಈ ಮಧ್ಯಬಿಂದು ಹಾಗೂ ಆಪಾದದ ಅಭಿಮುಖ ಶೃಂಗ ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡ ರಚಿಸಿ (ಎಳೆಯಿರಿ) ಈ ರೇಖಾಖಂಡಗಳು ಏಕೀಭವನ ವಾಗುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಉಯನ್ನು ಗುರ್ತಿಸಿ. ಇದು ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರ (ಈಗಾಗಲೇ ಚರ್ಚಿಸಿದೆ)

m ಘಿಙZ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ

ಇದರಲ್ಲೂ ಪಾದದ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರ್ತಿಸಿ.

ಇನ್ಯಾವ ರೀತಿಯ `ಏಕೀಭವನ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಗುರ್ತಿಸಬಹುದು ಪರೀಶೀಲಿಸಿ, ರಚಿಸಿ.

P

ಖ

ಕಿ

S