ತರಗತಿ10 ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಅಭ್ಯಾಸ 3.2 ರ 6ನೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಪುಟ ಸಂಖ್ಯೆ : 38

a,b,c,d,e ಗಳು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ a+e=b+d=2c ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ

$a,b,c,d,e$ ಗಳು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿವೆ
$\ b-a=c-b=d-c=e-d$ [ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ]
$\ b-a=e-d$
$\ b+d=a+e$ -----------(1)
$\ c-b=d-c$
$\ c+c=b+d$
$\ b+d=2c--------------(2)$
(1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ
$\ b+d=a+e=2c$

ಅಭ್ಯಾಸ 3.2 ರ 8ನೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಪುಟ ಸಂಖ್ಯೆ : 38

50 ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯೊಂದರಲ್ಲಿ 3 ನೇ ಪದ 12 ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪದ 106 ಆಗಿದೆ. ಅದರ 29 ನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ದತ್ತಾಂಶ:$\ T_{3}=12,T_{n}=T_{50}=106,n=50,T_{29}=?$
ಹಂತ 1: ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ n ನೇ ಸೂತ್ರದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಮೊದಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 'd' ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
$\ T_{n}=a+(n-1)d$
$\ 106=a+(50-1)d$
$\ 106=a+49d$
$\ 106=a+2d+47d$
$\ 106=T_{3}+47d$
$\ 106=12+47d{[T_{3}=a+2d]}$ಬೆಲೆಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ
$\ 47d=106-12$
$\ 47d=94$
$\ d={\frac {94}{47}}=2$
ಹಂತ 2 : 3 ನೇ ಪದ 12 ರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಮೊದಲ ಪದ 'a' ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
$\ T_{3}=12$
$\ a+2d=12$
$\ a+2(2)=12$
$\ a+4=12$
$\ a=12-4$
$\ a=8$
ಹಂತ 3 : ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ 29 ನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
$\ T_{29}=a+28d$
$\ T_{29}=8+28(2)$
$\ T_{29}=8+56$
$\ T_{29}=64$

ಅಭ್ಯಾಸ 3.2 ರ 9ನೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಪುಟ ಸಂಖ್ಯೆ : 38

ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ 4ನೇ ಮತ್ತು 8 ನೇ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು 24 ಹಾಗೂ ಅದೇ ಶ್ರೇಢಿಯ 6ನೇ ಮತ್ತು 10ನೇ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು 44ಆಗಿದೆ .ಅದರ ಮೊದಲ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಹಂತ 1: ದತ್ತಾಂಶ :
$\ T_{4}+T_{8}=24$
$\ T_{6}+T_{10}=44$
ಹಂತ 2 : ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿರುವುದು : ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ 3 ಪದಗಳು
$\ T_{1},T_{2},T_{3}=>a,a+d,a+2d$
ಹಂತ 3 :ಮೊದಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 'd' ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
$\ T_{4}+T_{8}=24$
$\ a+3d+a+7d=24$
$\ 2a+10d=24---------------------(1)$
$\ T_{6}+T_{10}=44$
$\ a+5d+a+9d=44$
$\ 2a+14d=44---------------------(2)$
ಸಮೀಕರಣ (2) ರಿಂದ (1) ನ್ನು ಕಳೆದಾಗ
$\ 4d=20$
$\ d={\frac {20}{4}}=5$
ಹಂತ 4 : ಮೊದಲ ಪದ ' a 'ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು 'd ' ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (1) ಅಥವಾ (2) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಬೇಕು.
$\ 2a+10(5)=24$
$\ 2a+50=24$
$\ 2a=24-50$
$\ 2a=-26$
$\ d={\frac {-26}{2}}=-13$
ಹಂತ 5 : ಮೊದಲ ಪದ 'a' ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 'd' ಬೆಲೆಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ 3 ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
$\ -13,-13+5,-13+2(5)=-13,-8,-3$

ಅಭ್ಯಾಸ 3.2 ರ 10ನೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಪುಟ ಸಂಖ್ಯೆ : 38

ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ 7 ನೇ ಪದ ಮತ್ತು 3 ನೇ ಪದಗಳ ಅನುಪಾತವು 12:5 ಆಗಿದೆ. 13 ನೇ ಪದ ಮತ್ತು 4 ನೇ ಪದಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ

ಹಂತ 1: ದತ್ತಾಂಶ

$\ T_{7}:T_{3}=12:5$

ಹಂತ 2 : ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿರುವುದು

$\ T_{13}:T_{4}=?$

ಹಂತ 3 : ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಪದ 'a' ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

$\ T_{7}:T_{3}=12:5$

$\ d={\frac {T_{7}}{T_{3}}}={\frac {12}{5}}$

$\ ={\frac {(a+6d)}{(a+2d)}}={\frac {12}{5}}$

$\ 12(a+2d)=5(a+6d)12a+24d=5a+30d$

$\ 12a+24d=5a+30d$

$\ 12a-5a=30d-24d$

$\ 7a=6d$

$\ a={\frac {6d}{7}}$

ಹಂತ : 4 'a' ಬೆಲೆಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ

$\ T_{13}:T_{4}={\frac {T_{13}}{T_{4}}}={\frac {a+12d}{a+3d}}$

$\ ={\frac {{\frac {6d}{7}}+12d}{{\frac {6d}{7}}+3d}}$

$\ ={\frac {\frac {6d+84d}{7}}{\frac {6d+21d}{7}}}$

$\ ={\frac {6d+84d}{6d+21d}}$

$\ ={\frac {90d}{27d}}$

$\ ={\frac {10}{3}}$

$\ T_{13}:T_{4}=10:3$

ಅಭ್ಯಾಸ 3.2 ರ 11 ನೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಪುಟ ಸಂಖ್ಯೆ : 38

ಒಂದು ಸಂಸ್ಥೆಯು 2001 ನೇ ಇಸವಿಯಲ್ಲಿ 400 ಉದ್ಯೋಗಿಗಳನ್ನು ನೇಮಿಸಿಕೊಂಡಿತು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ವರ್ಷವು ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 35 ಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿತು.ಯಾವ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಸಂಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು 785 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ?

ಪರಿಹಾರ

ದತ್ತಾಂಶ:ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ
$\ 400,435,470,......,785.$
ಮೊದಲ ಪದ = $\ a=400$
ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ = $\ d=35$
ಕೊನೆಯ ಪದ = $\ T_{n}=785$
ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ=ವರ್ಷಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = $\ n=?$
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ n ನೇ ಪದ
$\ T_{n}=a+(n-1)d$
$\ 785=400+(n-1)35$
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 785 – 400 = 35n – 35}
$\ 385+35=35n$
$\ 420=35n$
$\ n=12$
ಆದ್ದರಿಂದ 2012 ನೇ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಸಂಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು 785 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ : ಪರೀಕ್ಷಾ ಕ್ರಮದಿಂದ

$\ 400,435,470,505,540,575,610,645,680,715,750,785.$
ವರ್ಷ $\ 2001------->400$
ವರ್ಷ $\ 2002------->435$
ವರ್ಷ $\ 2003------->470$
ವರ್ಷ $\ 2004------->505$
ವರ್ಷ $\ 2005------->540$
ವರ್ಷ $\ 2006------->575$
ವರ್ಷ $\ 2007------->610$
ವರ್ಷ $\ 2008------->645$
ವರ್ಷ $\ 2009------->680$
ವರ್ಷ $\ 2010------->715$
ವರ್ಷ $\ 2011------->750$
ವರ್ಷ $\ 2012------->785$
ಆದ್ದರಿಂದ 2012 ನೇ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಸಂಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು 785 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಭ್ಯಾಸ 3.2 ರ 12 ನೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಪುಟ ಸಂಖ್ಯೆ : 38

ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ $\ p$ ನೇ ಪದ $\ q$ ಮತ್ತು $\ q$ ನೇ ಪದ $\ p$ ಆದರೆ $\ n$ ನೇ ಪದವು $\ (p+q-n)$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಪದ 'a' ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 'd' ಆಗಿರಲಿ
ಹಂತ 1 : ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಡಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 'd' ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು
$\ T_{p}=q,T_{q}=p$
$\ T_{n}=a+(n-1)d$=>ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ n ನೇ ಪದ
$\ T_{p}=a+(p-1)d=q$ ------------(1)
$\ T_{q}=a+(q-1)d=p$ ------------(2)
(1) ರಿಂದ (2) ಕಳೆದಾಗ
$\ T_{p}-T_{q}=a+(p-1)d-(a+(q-1)d)=q-p$
$\ a-a+[(p-1)-(q-1)d]=q-p$
$\ (p-1-q+1)d=q-p$
$\ (p-q)d=q-p$
$\ -(q-p)d=q-p$
$\ -(q-p)d=q-p$
$\ d={\frac {(q-p)}{-(q-p)}}=-1$
ಹಂತ 2: d= -1 ನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ
$\ a+(p-1)(-1)=q$
$\ a-p+1=q$
$\ a=p+q-1$
ಹಂತ 3 : ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ nನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
$\ T_{n}=a+(n-1)d$
$\ T_{n}=p+q-1+(n-1)(-1)$
$\ T_{n}=p+q-1-n+1$
$\ T_{n}=p+q-n$

ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ

ಹಂತ 1 : ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಡಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 'd' ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು
$\ T_{p}=q,T_{q}=p$
$\ d={\frac {(T_{p}-T_{q})}{(p-q)}}$
$\ d={\frac {(q-p)}{(p-q)}}$
$\ d={\frac {-(p-q)}{(p-q)}}=-1$ ಹಂತ 2: d= -1 ನ್ನು ಸಮೀಕರಣ $\ T_{p}=a+(p-1)d=q$ ದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ
$\ a+(p-1)(-1)=q$
$\ a-p+1=q$
$\ a=p+q-1$
ಹಂತ 3 : ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ nನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
$\ T_{n}=a+(n-1)d$
$\ T_{n}=p+q-1+(n-1)(-1)$
$\ T_{n}=p+q-1-n+1$
$\ T_{n}=p+q-n$