ತರಗತಿ10 ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಅಭ್ಯಾಸ 3.2 ರ 6ನೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಪುಟ ಸಂಖ್ಯೆ : 38

a,b,c,d,e ಗಳು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ a+e=b+d=2c ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ

$a,b,c,d,e$ ಗಳು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿವೆ
$\ b-a=c-b=d-c=e-d$ [ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ]
$\ b-a=e-d$
$\ b+d=a+e$ -----------(1)
$\ c-b=d-c$
$\ c+c=b+d$
$\ b+d=2c--------------(2)$
(1) ಮತ್ತು (2) ರಿಂದ
$\ b+d=a+e=2c$

ಅಭ್ಯಾಸ 3.2 ರ 8ನೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಪುಟ ಸಂಖ್ಯೆ : 38

50 ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯೊಂದರಲ್ಲಿ 3 ನೇ ಪದ 12 ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪದ 106 ಆಗಿದೆ. ಅದರ 29 ನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ದತ್ತಾಂಶ:$\ T_{3}=12,T_{n}=T_{50}=106,n=50,T_{29}=?$
ಹಂತ 1: ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ n ನೇ ಸೂತ್ರದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಮೊದಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 'd' ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
$\ T_{n}=a+(n-1)d$
$\ 106=a+(50-1)d$
$\ 106=a+49d$
$\ 106=a+2d+47d$
$\ 106=T_{3}+47d$
$\ 106=12+47d{[T_{3}=a+2d]}$ಬೆಲೆಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ
$\ 47d=106-12$
$\ 47d=94$
$\ d={\frac {94}{47}}=2$
ಹಂತ 2 : 3 ನೇ ಪದ 12 ರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಮೊದಲ ಪದ 'a' ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
$\ T_{3}=12$
$\ a+2d=12$
$\ a+2(2)=12$
$\ a+4=12$
$\ a=12-4$
$\ a=8$
ಹಂತ 3 : ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ 29 ನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
$\ T_{29}=a+28d$
$\ T_{29}=8+28(2)$
$\ T_{29}=8+56$
$\ T_{29}=64$

ಅಭ್ಯಾಸ 3.2 ರ 9ನೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಪುಟ ಸಂಖ್ಯೆ : 38

ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ 4ನೇ ಮತ್ತು 8 ನೇ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು 24 ಹಾಗೂ ಅದೇ ಶ್ರೇಢಿಯ 6ನೇ ಮತ್ತು 10ನೇ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು 44ಆಗಿದೆ .ಅದರ ಮೊದಲ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ಹಂತ 1: ದತ್ತಾಂಶ :}
$T_{4}+T_{8}=24$
$T_{6}+T_{10}=44$
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ಹಂತ 2 : ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿರುವುದು : ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ 3 ಪದಗಳು }
$T_{1},T_{2},T_{3}=>a,a+d,a+2d$
Failed to parse (syntax error): {\displaystyle ಹಂತ 3 :ಮೊದಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 'd' ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.}
$T_{4}+T_{8}=24$
$a+3d+a+7d=24$
$2a+10d=24---------------------(1)$
$T_{6}+T_{10}=44$
$a+5d+a+9d=44$
$2a+14d=44---------------------(2)$
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ಸಮೀಕರಣ (2) ರಿಂದ (1) ನ್ನು ಕಳೆದಾಗ }
$4d=20$
$d={\frac {20}{4}}=5$
Failed to parse (syntax error): {\displaystyle ಹಂತ 4 : ಮೊದಲ ಪದ ' a 'ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು 'd ' ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (1) ಅಥವಾ (2) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಬೇಕು.}
$2a+10d=24$
$2a+10(5)=24$
$2a+50=24$
$2a=24-50$
$2a=-26$
$d={\frac {-26}{2}}=-13$
Failed to parse (syntax error): {\displaystyle ಹಂತ 5 : ಮೊದಲ ಪದ 'a' ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 'd' ಬೆಲೆಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ 3 ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.}
$-13,-13+5,-13+2(5)=-13,-8,-3$

ಅಭ್ಯಾಸ 3.2 ರ 10ನೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಪುಟ ಸಂಖ್ಯೆ : 38

ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ 7 ನೇ ಪದ ಮತ್ತು 3 ನೇ ಪದಗಳ ಅನುಪಾತವು 12:5 ಆಗಿದೆ. 13 ನೇ ಪದ ಮತ್ತು 4 ನೇ ಪದಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ಹಂತ 1: ದತ್ತಾಂಶ }
$T_{7}:T_{3}=12:5$
Failed to parse (syntax error): {\displaystyle ಹಂತ 2 : ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿರುವುದು}
$T_{13}:T_{4}=?$
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ಹಂತ 3 : ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಪದ 'a' ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.}
$T_{7}:T_{3}=12:5$
$d={\frac {T_{7}}{T_{3}}}={\frac {12}{5}}$
$={\frac {(a+6d)}{(a+2d)}}={\frac {12}{5}}$
$12(a+2d)=5(a+6d)12a+24d=5a+30d$
$12a+24d=5a+30d$
$12a-5a=30d-24d$
$7a=6d$
$a={\frac {6d}{7}}$
Failed to parse (syntax error): {\displaystyle ಹಂತ : 4 'a' ಬೆಲೆಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ }
$T_{13}:T_{4}={\frac {T_{13}}{T_{4}}}={\frac {a+12d}{a+3d}}$
$={\frac {{\frac {6d}{7}}+12d}{{\frac {6d}{7}}+3d}}$
$={\frac {\frac {6d+84d}{7}}{\frac {6d+21d}{7}}}$
$={\frac {6d+84d}{6d+21d}}$
$={\frac {90d}{27d}}$
$={\frac {10}{3}}$
$T_{13}:T_{4}=10:3$